DeepLearning.ai学习笔记（二）改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化--Week2优化算法

转载自https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/7577362.html

1. Mini-batch梯度下降法

介绍

假设我们的数据量非常多，达到了500万以上，那么此时如果按照传统的梯度下降算法，那么训练模型所花费的时间将非常巨大，所以我们对数据做如下处理：

如图所示，我们以1000为单位，将数据进行划分，令x{1}={x(1),x(2)……x(5000)}, 一般地用x{t},y{t}来表示划分后的mini-batch。

注意区分该系列教学视频的符号标记：

• 小括号() 表示具体的某一个元素，指一个具体的值，例如x(i)
  

• 中括号[] 表示神经网络中的某一层,例如Z[l]
  

• 大括号{} 表示将数据细分后的一个集合,例如x{1}={x(1),x(2)……x(1000)}
  

算法步骤

假设我们有5,000,000个数据，每1000作为一个集合，计入上面所提到的x{1}={x(1),x(2)……x(1000)},……

• 1)所以需要迭代运行5000次神经网络运算。

for i in range(5000):

• 2)每一次迭代其实与之前笔记中所提到的计算过程一样，首先是前向传播，但是每次计算的数量是1000

• 3)计算损失函数，如果有正则化，则记得加上正则项

• 4)反向传播

注意，mini-batch相比于之前一次性计算所有数据不仅速度快，而且反向传播需要计算5000次，所以效果也更好。

2. 理解mini-batch梯度下降法

如上面所提到的，我们以1000位单位对数据进行划分，但是这只是为了更方便说明问题才这样划分的，那么我们在实际操作中应该如何划分呢？

首先考虑两个极端情况：

• mini-batch size = m
  此时即为Batch gradient descent，(x{t},y{t})=(X,Y)
  

• mini-batch size = 1
  此时即为Stochastic gradient descent, (x{t},y{t})=(x(i),y(i))(x{t},y{t})=(x(i),y(i))

如图示，蓝色收敛曲线表示mini-batch size=m，比较耗时，但是最后能够收敛到最小值；而紫色收敛曲线表示mini-batch size=1，虽然速度可能较快，但是收敛曲线十分曲折，并且最终不会收敛到最小点，而是在其附近来回波动。

说了这么多，那么mini-batch size该如何选择呢？以下是选择的原则：

• 如果数据量比较小（m<2000），可以使用batch gradient descent。一般来说mini-batch size取2的次方比较好，例如64,128,256,512等，因为这样与计算机内存设置相似，运算起来会更快一些。

3. 指数加权平均

为了理解后面会提到的各种优化算法，我们需要用到指数加权平均，在统计学中也叫做指数加权移动平均(Exponentially Weighted Moving Averages)。

首先我们假设有一年的温度数据，如下图所示

我们现在需要计算出一个温度趋势曲线，计算方法如下：

V0=0

V1=β∗V0+(1−β)θ1

…………

Vt=β∗Vt−1+(1−β)θt

上面的θtθt表示第t天的温度，β是可调节的参数，Vt表示11−β天的每日温度。

• 当β=0.9时,表示平均了过去十天的温度，且温度趋势曲线如图中红线所示

• 当β=0.98时,表示平均了过去50天的温度，温度趋势曲线如图中绿线所示。此时绿线相比较红线要平滑一些，是因为对过去温度的权重更大，所以当天天气温度的影响降低，在温度变化时，适应得更缓慢一些。

• 当β=0.5时,温度趋势曲线如图中黄线所示

4. 理解指数加权平均

我们将上面的公式Vt=β∗Vt−1+(1−β)θt展开可以得到
(假设β=0.9)

Vt=0.1θt+0.1∗0.9θt−1+0.1∗0.92θt−2+…

可以看到在计算第t天的加权温度时，也将之前的温度考虑进来，但是都有一个衰减因子β，并且随着天数的增加，衰减幅度也不断增加。（有点类似于卷积计算）

5. 指数加权平均的偏差修正

为什么需要修正呢？我们仔细分析一下就知道了

首先我们假设的是β=0.98,V0=0,然后由Vt=βVt−1+(1−β)θt可知

V1=0.98V0+0.02θ1=0.02θ1

V2=0.98V1+0.02θ2=0.0196θ1+0.02θ2

假设θ1=40℃,那么V1=0.02∗40=0.8℃，这显然相差太大，同理对于后面的温度的计算也只会是变差越来越大。所以我们需要进行偏差修正，具体方法如下：

Vt=βVt−1+(1−β)θt1−βt

注意！！！上面公式中的 Vt−1是未修正的值。

为方便说明，令β=0.98,θ1=40℃,θ2=39℃,则

当t=1,θ1=40℃时，V1=0.02∗401−0.98=40,哇哦~有没有很巧的感觉，再看
当t=2,θ2=39℃时，V2=0.98∗Vt−1+0.02∗θ21−0.982=0.98∗(0.02∗θ1)+0.02∗391−0.982=39.49

所以，记住你如果直接用修正后的Vt−1值代入计算就大错特错了

6. 动量梯度下降法

首先介绍一下一般的梯度算法收敛情况是这样的

可以看到，在前进的道路上十分曲折，走了不少弯路，在纵向我们希望走得慢一点，横向则希望走得快一点，所以才有了动量梯度下降算法。

Momentum算法的第t次迭代：

• 计算出dw,db
• 这个计算式子与上一届提到的指数加权平均有点类似，即
  Vdw=βVdw+(1−β)dw
  Vdb=βVdb+(1−β)db
  
• W=W−αVdw,b=b−αVdb
  

最终得到收敛的效果如下图的红色曲线所示。

该算法中涉及到的超参数有两个，分别是 α，β，其中一般β=0.9是比较常取的值。

7. RMSprop

该算法全称叫Root Mean Square Prop(均方根传播)

这一节和上一节讲的都比较概括，不是很深入，所以就直接把算法记录下来吧。

在第t次迭代：

• 计算该次mini-batch的dw,db
• Sdw=βSdw+(1−β)dw2
  Sdb=βSdb+(1−β)db2
  
• w:=w−αdwSdw√
  b:=b−αdbSdb√
  

收敛效果(原谅色)

8. Adam优化算法

Adam其实是Momentum和RMSprop两个算法的结合，具体算法如下：

• 初始化Vdw=0,Vdb=0，Sdw=0，Sdw=0
  
• 在第t次迭代
  • 计算出dw,db
  • Vdw=β1Vdw+(1−β1)dw,Vdb=β1Vdb+(1−β1)db
    Sdw=β2Sdw+(1−β2)dw2,Sdb=β2Sdb+(1−β2)db2
    
  • Vcorrecteddw=Vdw1−βt1Vdwcorrected=Vdw1−β1t,Vcorrecteddb=Vdb1−βt1Vdbcorrected=Vdb1−β1t
    Scorrecteddw=Sdw1−βt2Sdwcorrected=Sdw1−β2t,Scorrecteddb=Sdb1−βt2Sdbcorrected=Sdb1−β2t
  • W=W−αVcorrecteddwScorrecteddw√+εW=W−αVdwcorrectedSdwcorrected+ε,b=b−αVcorrecteddbScorrecteddb√+εb=b−αVdbcorrectedSdbcorrected+ε

该算法中的超参数有α,β1,β2,εα,β1,β2,ε,一般来说β1=0.9,β2=0.999,ε=10−8β1=0.9,β2=0.999,ε=10−8

9. 学习率衰减

之前算法中提到的学习率α都是一个常数，这样有可能会一个问题，就是刚开始收敛速度刚刚好，可是在后面收敛过程中学习率偏大，导致不能完全收敛，而是在最低点来回波动。所以为了解决这个问题，需要让学习率能够随着迭代次数的增加进行衰减，常见的计算公式有如下几种：

• Learning rate decay

α=11+decayrate∗epochnumα0α=11+decayrate∗epochnumα0

decay_rate:衰减率
epoch_num: 迭代次数

举个栗子：
假设α0α0初始化为0.2,decay_rate=1,则α的衰减过程如下：

Epoch	α
1	0.1
2	0.067
3	0.05
……	……

• 其他衰减算法
  • 指数衰减：α=0.9epochnumα0α=0.9epochnumα0
  • α=Kepochnum√α0α=Kepochnumα0或α=ktα0α=ktα0(这个t表示mini-batch的第t组数据)
  • 离散衰减，每次迭代后变为上一次迭代的一半。

10. 局部最优问题

图左中有很多局部最优点。
图右用青色标记出来的点称为鞍点(saddle point)，因为和马鞍相似，所以称为鞍点。

鞍点相比于局部最优点要更加棘手，因为从横向上看似乎是最低点，但是纵向上看却不是最低点，所以收敛过程有点缓慢，原因如下：

横向收敛只能沿着红线方向收敛，直到鞍点，而到了鞍点后才能往两边收敛，所以收敛的比较缓慢。

但是momentum和Adam等算法因为能够加速学习，所以收敛速率更快，能够更快地收敛。