uva 11121 Base 2

数学题，给定一个十进制数转化为-2进制。这个问题可以扩展为转化为任意的负进制，先说-2进制

算法：n mod -2 余数可能为-1,0,1，但是不能出现-1，只能有0，1所以将-1变为1，并且商要加1。然后依此迭代直到商为0为止。

为什么余数要变为1而且能变为1呢，变了之后要怎么做呢？我找了很多博客都没有说原理，只是简单一句话，可能大家都觉得很简单吧，但是我还是想了一段时间才想出来的，所以就写一下原理

我们来看一个10进制转2进制，例子1024

第0次迭代，1024/2=512,1024%2=0 , 试一下把512++变为513，那么逆回去就是1026，多了2，其实就是2^1

第1次迭代，512/2=256，512%2=0，试一下把256++变为257，那么逆回去，就是1028，多了4，其实就是2^2

说到这里应该很清晰了，在第i次迭代后商+1，其实相当于原来的数增加了2^(i+1)，这个有什么用呢

n = b₀ + b₁(-2) + b₂(-2)² + b₃(-2)³ + ...

当n为正数的时候，第i次迭代的时候余数为-1的话，那么i一定是奇数（因为余数为正为负只和n的正负有关,而n的正负在除-2的过程中是交替变化的，很容易可以知道当i为奇数的时候，n是负数或0，余数是-1或0）那么对应的位置就应该是 -1*(-2)^i=2^i  ，如果变为1，则是1*(-2)^i=-2^i ,所以变为1后相当于减少了2*2^i=2^(i+1)，减少了的要加回来啊，怎么加，就在第i次迭代后的商+1，上面说了，第i次迭代后商+1，相当于逆回去加了2^(i+1)，所以以这个商继续迭代下去，最后得到的-2进制数就会等于原来的n

同理，当n为负数的时候，也是一样的分析，就不写了。

然后看代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 110
int a[N];
int n;
int main()
{
    int t,T;
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1; t<=T; t++)
    {
        scanf("%d",&n);
        int c=-1; a[0]=0;
        while(n)
        {
            a[++c]=n%(-2);
            n=n/(-2);
            if(a[c]==-1)
            { a[c]=1; n++; }
        }
        printf("Case #%d: ",t);
        while(c>0) printf("%d",a[c--]);
        printf("%d",a[0]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

按照这个原理我们不难写出转化为任意负进制的代码，先简单文字描述

当n为正数的时候转化为-m进制，同样是当i为奇数的时候，会产生负的余数（或者0）-p，对应的位为(-p)*(-m)^i=p*m^i ， 要把-p改为m-p ， 那么对应的为就变为了(m-p)*(-m)^i=-(m-p)*m^i , 那么相当于原来减少了m*m^i=m^(i+1) , 减少的要补回来，就是在商那里+1，那么逆回去相当于增加了m^(i+1)，刚好不回来，那么转化后的-m进制才是n

同理n为负数的时候也是这么分析的

核心代码

//核心代码

 scanf("%d",&n);
 int c=-1; a[0]=0;
 while(n)
 {
     a[++c]=n%(-m);  //m就是m进制，-m就是负进制
     n=n/(-m);
     if(a[c]<0)
     { a[c]=m+a[c]; n++; }
 }
 printf("Case #%d: ",t);
 while(c>0) printf("%d",a[c--]);
 printf("%d",a[0]);
 printf("\n");