什么是哈夫曼树

转自：https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7341289

 

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  一、哈夫曼树的概念和定义

 

什么是哈夫曼树？

让我们先举一个样例。

判定树：

        在非常多问题的处理过程中，须要进行大量的条件推断，这些推断结构的设计直接影响着程序的运行效率。比如，编制一个程序，将百分制转换成五个等级输出。大家可能觉得这个程序非常easy，而且非常快就能够用下列形式编写出来：

 

	if(score<60)
		cout<<"Bad"<<endl;
	else if(score<70)
		cout<<"Pass"<<endl
	else if(score<80)
		cout<<"General"<<endl;
	else if(score<90)
		cout<<"Good"<<endl;
	else
		cout<<"Very good!"<<endl;

 

 

若考虑上述程序所耗费的时间，就会发现该程序的缺陷。在实际中，学生成绩在五个等级上的分布是不均匀的。当学生百分制成绩的录入量非常大时，上述判定过程须要重复调用，此时程序的运行效率将成为一个严重问题。

 

但在实际应用中，往往各个分数段的分布并非均匀的。以下就是在一次考试中某门课程的各分数段的分布情况： 

 

 

以下我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树，即总的比較次数最少的判定树。

 

 

第一种构造方式：

 

 

 

 

另外一种构造方式：

 

 

 

 

这两种方式，显然后者的判定过程的效率要比前者高。我们称判定过程最优的二叉树为最优二叉树

 

 

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 定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念：

路径：

　　树中一个结点到还有一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。

路径长度：

　　路径上的分枝数目称作路径长度。

树的路径长度：

　　从树根到每个结点的路径长度之和。

结点的带权路径长度：

　　在一棵树中，假设其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值之积，称为该结点的带权路径长度（weighted path length, WPL）

  什么是权值?

    　计算机领域中（数据结构）

　　权值就是定义的路径上面的值。能够这样理解为节点间的距离。通常指字符相应的二进制编码出现的概率。

　　至于霍夫曼树中的权值能够理解为：权值大表明出现概率大！

　　一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.

　　abcd四个叶子结点的权值为7,5,2,4. 这个7,5,2,4是依据实际情况得到的,比方说从一段文本中统计出abcd四个字母出现的次数分别为7,5,2,4. 说a结点的权值为7,意思是说a结点在系统中占有7这个份量.实际上也能够化为百分比来表示,但反而麻烦,实际上是一样的.

 

树的带权路径长度：

　　假设树中每一个叶子上都带有一个权值，则把树中全部叶子的带权路径长度之和称为树的带权路径长度。

 

             设某二叉树有n个带权值的叶子结点，则该二叉树的带权路径长度记为：

                                 

 

公式中，w_k为第k个叶子结点的权值；l_k为该结点的路径长度。

 

演示样例：

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一般来说，用n（n>0）个带权值的叶子来构造二叉树，限定二叉树中除了这n个叶子外仅仅能出现度为2的结点。

 

那么符合这样条件的二叉树往往可构造出很多颗，当中带权路径长度最小的二叉树就称为最优二叉树(哈夫曼树)

 

 

 

它们的带权路径长度分别为：

图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。