简单理解算法篇--摊还分析

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    摊还分析是用来评价程序中的一个操作序列的平均代价，有时可能某个操作的代价特别高，但总体上来看也并非那么糟糕，可以形象的理解为把高代价的操作“分摊”到其他操作上去了，要求的就是均匀分摊后的平均代价。

 摊还分析有三种常用的技术；聚合分析，核算法，势能法。

 首先看个例子，现在有三种操作，push(s),pop(s),mutlipop(s,k),push(s)，统称为栈操作。 push(s)每次只能压一个数据，所以规定操作的代价为1，pop(s)每次只能弹一个数据，所以也规定操作的代价为1，而mutlipop(s,k)，内部实现的是一个循环弹出，每执行一次的代价为k（k<n,n为栈的最大容量）。那么现在问题来了，我想分析下执行n次栈操作最坏情况下的时间复杂度是多少？第一反应应该就是这样想的，mutlipop(s,k)的代价最高，最高位k=n;

执行n次的最坏情况当然就是o(n²)啦，当实际上并非如此。

 聚合分析要求我们要总体看问题，首先mutlipop(s,k)也是个弹栈的操作，当栈里有数据的时候才执行有效，所以上述提到的o(n²)是不科学的，而push(s),pop(s)的代价是1，可想而知最坏的情况当然是前n-1次操作都是压栈，而最后一次才执行mutlipop(s,n-1)，这样的代价也只有2n-2,时间复杂度为o(n)，平均下来每个操作的摊还代价就为o(1)了。

 核算法比较好理解，进行摊还分析时，摊还的代价有可能多于实际的代价，也有可能少于实际的代价，多于实际代价的差额会存进一个数据结构中，称为信用，而当遇到少于实际代价的时候就可以用这些信用来填充了。注意这些什么算法提供的只是思路，求出一系列操作代价的上界的思路，具体的做法还是要自己思考的。

 同样是压栈的例子，我们可以赋给Push(s)操作的摊还代价是2，相当于自己使用了1，而压进去的必定会弹出，剩下的1就作为弹出时的费用，这样pop(s)和mutlipop(s,k)的摊还代价就为0，这样做有什么意义？试着现在思考下题目中的问题（标红色的部分），那么可想最糟糕的情况无非就是所有操作都是Push(s)，代价为2n，并不像聚合代价那样需要考虑其他两个操作（摊还代价为0），时间复杂度为O(n)。

 势能法

 势能法其实核算法有点相似，也有预付差额的，但不叫信用，而叫势能，势能法是从整体上看的，不像核算法那样具体到某个操作，而是整体的势能。

势能法定义了一条公式；

                     C_i(摊还)=C_i(实际)+f(D_i)-f(D_i-1)          （1）

累加可得总摊还代价的公式为;

                     C_i(总摊还)= C_i(总实际)+ f(D_i)-f(D₀)        （2）

其中C_i 为每步操作的代价，f(D_i)表示执行了第i个操作后的势能，那个这个公式就可以理解为 第i步操作的摊还代价等于第i步操作的实际代价加上从第i-1步操作到第i步操作的势能变化，理解这个后，再来看栈操作的例子。

同样Push(s)、pop(s)的代价为1, mutlipop(s,k)的代价为k,我们规定入栈一个元素势能加1，弹出一个元素势能减1，那么f(D_i)永远为非负,而f(D₀)等于0，再根据上面的公式（2）即可知道这个又这里就可以确定总摊还代价是总实际代价的上界，所以现在要求的就是总摊还代价。

根据公式（1）可以得到Push(s)的摊还代价为2，pop(s)的摊还代价为0，mutlipop(s,k)的摊还代价也为0 （因为弹栈势能要减，刚好和代价抵消，也可以看做势能都用来支付代价了，所以下降了），那么又回到了核算法了，可得时间复杂度为O(n)。

书上还有个例子是关于表扩张的，虽然能看懂，但还是理解的不太透彻（不明白他为什么能这么定义），在这里跟大家分享，也请大家指点~

例子：表扩张

是这样的，有个程序，假设这个表只允许插入，当插入数据发现表满了，会自动新建一个表大小为原来的两倍，然后把已有的数据复制过去，再插入，在问题就是要求这个程序的代价，准确来说是摊还代价。

这里只写两个方法吧，写多我自己都晕了..首先是聚合分析

我们将插入一条数据的代价看为1，假设一开始表的大小为1，没有数据，可想除了表数据满的情况，其他情况的代价都为1，而表满时的大小都为2的幂。当表满时插入数据的代价就是原有的数据复制的代价k(假设有k条数据)加上新插入的1条,又此可得总摊还代价为

C(总摊还代价)<=n+2⁰ +2¹+..+2^lgn<n+2n=3n;(其中lgn表示表共扩张了lgn次，可以算出)，所以摊还代价至多为3n/n=3

 下面看看核算法，通过核算法能很好的理解为什么摊还付代价为3.

书上是这样分析的，假设现在表中有m/2条数据，表大小为m,而且没有信用，那么插一条数据要付出3的代价，为什么？看，1是为了插入时消耗了，1是保存起来作为自己的信用，还有1呢，就是捐赠跟原本就在表中但没有信用的数据，这样，但数据插入了m/2条，一共有m条数据时,这也刚好是表要扩张的时候，表中所有的数据都有1的信用，就可以用来支付扩展表时复制到新表的代价，从而表的大小变成2m，数据刚好又没了信用而且刚好是表大小的一半，这又到回了最初，就好像递归一样，也就是说1条数据支持3代价就可以保证它永远的扩展…