挑选队友

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题目描述

Applese打开了m个QQ群，向群友们发出了组队的邀请。作为网红选手，Applese得到了n位选手的反馈，每位选手只会在一个群给Applese反馈
现在，Applese要挑选其中的k名选手组队比赛，为了维持和各个群的良好关系，每个群中都应有至少一名选手成为Applese的队友（数据保证每个群都有选手给Applese反馈）
Applese想知道，他有多少种挑选队友的方案

输入描述:

输入包括两行
第一行包括三个数n, m, k，表示共有n位选手，m个群，需要有k名选手被选择
第二行包括m个数，第i个数表示第i个群有si个选手
n ≤ 100000, m ≤ k ≤ n

输出描述:

输出包括一行
第一行输出方案数
由于输出可能比较大，你只需要输出在模998244353意义下的答案

输入

5 3 4
1 2 2

输出

4

分析

如果一个群有s个人，那么这个群的生成函数就是(sum_{i=1}^{s}C_s^icdot x^i)
这样所有群的多项式乘起来之后，多项式的x的k次幂的系数就是答案了

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100050;
const int MOD=998244353;
int s[maxn];
ll fact[maxn],inv[maxn];
ll getInv(ll x) {
	return x==1?1:getInv(MOD%x)*(MOD-MOD/x)%MOD;
}
void init() {
	fact[0]=1;
	for(int i = 1; i < maxn; ++i) fact[i]=fact[i-1]*i%MOD;
	inv[maxn-1]=getInv(fact[maxn-1]);
	for(int i = maxn-2; i >= 0; --i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
ll C(int n,int k) {
	if(k>n) return 0;
	return fact[n]*inv[k]%MOD*inv[n-k]%MOD;
}
vector<int> a[maxn];
struct Cmp {
	bool operator ()(const int&u,const int &v)const {
		return a[u].size()>a[v].size();
	}
};
ll Pow(ll x,ll n) {
	ll ans=1,base=x%MOD;
	while(n) {
		if(n&1) ans=ans*base%MOD;
		base=base*base%MOD;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int t[maxn*2];
void ntt(vector<int>&a,int n,int op) {
	for(int i = 0; i < n; ++i) {
		int idx=0,base=(n>>1);
		for(int j = 0; base; ++j) {
			if(i&(1<<j)) idx+=base;
			base>>=1;
		}
		t[idx]=a[i];
	}
	for(int i = 0; i < n; ++i) a[i]=t[i];
	for(int i = 1; i < n; i<<=1) {
		ll gn,g=1;
		if(op==1) gn=Pow(3,(MOD-1)/i/2);
		else gn=Pow(3,(MOD-1)/i/2*(i*2-1));
		for(int j = 0; j < n; j+=(i<<1)) {
			g=1;
			for(int k = j; k < j+i; ++k) {
				ll u=a[k],v=a[k+i];
				a[k]=(u+g*v)%MOD;
				a[k+i]=(u-g*v)%MOD;
				g=g*gn%MOD;
			}
		}
	}
	if(op==-1) {
		ll t=getInv(n);
		for(int i = 0; i < n; ++i) {
			a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;
		}
	}
}
void mul(vector<int>&a,vector<int>&b) {
	int n=1;
	while(n<a.size()+b.size()-1) n<<=1;
	a.resize(n),b.resize(n);
	ntt(a,n,1);
	ntt(b,n,1);
	for(int i = 0; i < n; ++i) a[i]=(ll)a[i]*b[i]%MOD;
	ntt(a,n,-1);
	while(a.size()>1&&a.back()==0) a.pop_back();
}
int main() {
	init();
	ll e1=Pow(3,(MOD-1)/4);
	ll e2=Pow(3,(MOD-1)/4*3);
	int n,m,k;
	scanf("%d%d%d", &n,&m,&k);
	priority_queue<int,vector<int>,Cmp> q;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%d", s+i);
		a[i].resize(s[i]+1);
		for(int j = 1; j <= s[i]; ++j) {
			a[i][j]=C(s[i],j);
		}
		q.push(i);
	}
	while(q.size()>=2) {
		int u=q.top();q.pop();
		int v=q.top();q.pop();
		mul(a[u],a[v]);
		q.push(u);
		//for(auto e:a[u]) cout<<(e+MOD)%MOD<<" ";
		//cout<<endl;
	}
	int u=q.top();q.pop();
	if(k>=a[u].size()) {
		printf("0
");
	}
	else printf("%lld
", ((ll)a[u][k]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}