第 3 章 第 2 题 求级数问题 递归法实现

问题分析

　　输入：阶数 k，级数前 k 项 a₁ - a_k，常系数 c₁ - c_k+1，要求到的级数项 m

　　输出：1 - m 项级数 a₁ -a_m 

　　约束：无

思路分析

　　首先要明白 m 肯定是大于 k 的，不然这题不用解答。

　　然后要理清这里面存在的递归关系，可以假设 k = 3，c₁ - c₄ 为 1-4，那么就有如下的递归式：

　　a_n = a_n-1 + 2a_n-2 + 3a_n-3 +4

　　因此，可以使用递归法求出第 k+1 至 第 m 项级数，但要注意的是管理好动态数组以存取求解阶段需要用到的各个数据，这也是本题考察的重点。

代码实现

　　说明：不使用数组的方法会很复杂，暂不实现这种方法。

#include <iostream>

using namespace std;

// 计算级数函数
int countA( int *a, int *c, int k, int n);

int main(void) {
    // 获取阶数，级数前 k 项，前 k+1 项系数并保存。
    int k;
    cout << "请输入阶数 k :" << endl;
    cin >> k;

    int *a = new int[k];
    int *c = new int[k+1];

    cout << "请输入前 " << k << " 项级数:" << endl;
    for (int i=0; i<k; i++)
        cin >> a[i];
    cout << "请输入前 " << k+1 << " 项系数:" << endl;
    for (int i=0; i<k+1; i++)
        cin >> c[i];
    
    int m;
    cout << "请输入要求到的级数项数:" << endl;
    cin >> m;

    // 打印求解结果
    int an;
    cout << endl << "1 - " << m << " 项级数求解如下:" << endl;
    for (int i=1; i<=m; i++) {
        an = countA(a, c, k, i);
        cout << "a" << i << " :" << an << endl;
    }
        
    return 0;
}
    
int countA( int *a, int *c, int k, int n) {
    // 递归终点
    if (n <= k) 
        return a[n-1];

    // 递归求解
    int an = 0;
    for (int i=0; i<k; i++) {
        an += c[i] * countA(a, c, k, n-i-1); 
    }
    an += c[k];

    return an;
}

小结

　　1. 本题中的阶数 k 可能很长，如果直接按照公式求解则会导致冗长的代码。本文中的代码采用动态数组存放相关数据( 可以允许用户输入任意长度的 k )，代码精简多了。

　　2. 比起仅计算第 15 项系数的情况，这种一般性的解法反而更简单。