题意
题解
大概是神题。
网格图上跑最短路有一个经典的优化方式：分治分组跑最短路。
对于这道题，设矩形长为 (n)，宽为 (m)，则对 (n,m) 中更大的一个二分。
这里只考虑按 (n) 分治的情况。
如上图，设 (S=nm)，因为此时一列的点数是小等于 (sqrt{S}) 的，所以我们可以枚举红色分割线上的点，以每个点为原点，跑到矩形中所有点的最短路。
然后考虑询问：
如果询问的两点在分割线的不同侧（或者至少有一端在分割线上），则最短路一定经过分割线，用分割线上的每个点到这两个点的最短距离之和更新答案，然后这个询问就不用管了。
如果询问的两点在分割线的同一侧，则最短路可能经过分割线，依然用分割线上的每个点到这两个点的最短距离之和更新答案，然后把这个询问扔到左/右递归区间，去寻找不经过分割线的最短路。
当然，有可能存在分割线上一点 到询问两端的最短路存在部分重合的情况。对于不同侧的情况，画图可知这种情况会被分割线上其它点 用更短路径覆盖掉；对于同一侧的情况，这种情况会被不经过分割线的更短路径覆盖掉。
时间复杂度 (O(Ssqrt{S}log^2{S}))。嗯，码吧……
……
等等，你他吗说什么？这复杂度什么破玩意？？跟 (O(S^2)) 有啥区别？？你让我 (2s) 跑带大常数的 (4e8)？？?如果 cpu 是 I9 的说不定真能跑过
其实刚才这个复杂度是凭感觉意淫的，下面就是丧心病狂的算时间复杂度环节了
首先有 $$egin{align} T(S)&=2T(frac{S}{2})+O(Ssqrt{S}log S)
onumber &= T(S)=2T(frac{S}{2})+O(S^{1.5}log S)
onumber end{align}$$
然后参考这篇博客的主定理（这里有简单版）
假设我们有递归式 (T(n)=aT(frac{n}{b})+f(n))，我们可以用主定理解这个递归式。
其中 (n) 为问题的规模，(a) 为递归到下一层的子问题数量，(frac{n}{b}) 为每个子问题的规模，(f(n)) 为递推后做的额外计算。
本题中，(a=b=2)，(f(S)=O(S^{1.5}log S))。
-
1. 假设存在常数 (epsilon>0)，使得 (f(n)=O(n^{log_b(a)-epsilon}))，则 (T(n)=Theta(n^{log_ba}))
(log_b a = log_2 2 = 1)，则 (S^{1-epsilon}=S^{1.5}log S)，显然 (epsilon<0)，故不符合主定理 1。 -
2. 假设存在常数 (kge 0)，使得 (f(n)=Theta (n^{log _{b}a}log ^{k}n))，则 (T(n)=Theta(n^{log_ba}log^{k+1}n))。
(S^{log_b a}log^k S = Slog^k S = S^{1.5}log S)
即要求 (log^{k-1} S = S^{0.5})
参考具体数学第2版 p368 的渐进等级次序，可知 (log_x nlt n^c)，其中 (x) 是任意 (gt 1) 的底数，(c) 是任意 (gt 1) 的指数，(<) 号重定义为函数的渐进增长率关系，即右边的函数更快到达无穷大。
比如有 (log nlt n^{0.0001})，这可能是很多人都不敢相信的，因为我们通常将视野局限于 (n) 不够大的情况，这种情况下 (log n) 的值当然远大于 (n^{0.0001})。比如 (n=10^{100})，(log n=100)，(n^{0.0001}≈1.0233)。但如果我们把 (n) 取到 (10^{10^{100}})，(log n) 就小于 (n^{0.0001}) 了。
那把 (log_x n) 取任意实数次幂，其增长速度是否还小于 (n^c) 呢？
确实是的。我们观察渐进增长率关系的定义：$$ f(n)<g(n) ightleftharpoons lim_{n o infty} frac{f(n)}{g(n)}=0$$
显然对于任意实数 (y)，都有 (frac{f(n)^y}{g(n)}=0)。故二者的渐进增长率关系不变。
（这其实算是高数内容了，有点超纲，了解一下就好）
综上，(log^{k-1} S = S^{0.5}) 是不可能满足的，随着 (S) 的增长，二者的趋向无穷大的速度一定不同，只要 (S) 取得足够大，二者的取值就会不同。
故不符合主定理 2。 -
3. 假设存在常数 (epsilon >0)，有 (f(n)=Omega (n^{log _{b}(a)+epsilon }))，同时存在常数 (c<1) 以及充分大的 (n) 满足 (af(frac{n}{b})le cf(n))，那么 (Tleft(n ight)=Theta left(fleft(n ight) ight))。
其实前两个主定理都不符合了，那肯定是用主定理 3 算复杂度了……
本来想验证一下是否满足主定理 3 的，结果主定理 3 的那个 (Omega) 我不会解啊 QvQ，哪位哥哥教教我
于是套用主定理 3，算得 (Tleft(n
ight) = Theta left(fleft(n
ight)
ight) = Theta (Ssqrt{S}log S))。
所以时间复杂度是 (Theta (Ssqrt{S}log S))（带不及 (log S) 的小常数）……
这题有一个弱化版，就是强制 (nle 10^5)，(mle 10)，这时由于递归式里不带 (sqrt{S})，要套主定理 2 而不是主定理 3，所以解出来的时间复杂度是 (Theta (mSlog mlog {S}))。这就是双 (log) 复杂度说法的来源……