HNOI2008 玩具装箱

HNOI2008 玩具装箱

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

---

Solution

斜率优化dp。

我们可以轻易写出 n^2 的方程，f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2,f[i]);但是显然会T。

把平方拆开。

[f[j]+sum[i]^2+(sum[j]+l)^2-2 cdot sum[i] cdot (sum[j]+l) ]

把sum[j]+l视作y[j],f[j]+(sum[j]+l)^2视作x[j],那么就可以维护凸壳。

如代码

Code

//Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
int n,l,q[500005],hd,tl;
int c[500005],f[500005],sum[500005];
int sqr(int x) {
	return x*x;
}
int a(int x) {
	return sum[x]+x;
}
int b(int x) {
	return 1;
}
int x(int j) {
	return (sum[j]+l+j+1);
}
int y(int j) {
	return x(j)*x(j)+f[j];
}
double slope(int a,int b) {
	return ((double) y(b)-y(a))/((double)x(b)-x(a));
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&c[i]),sum[i]=sum[i-1]+c[i];
//	for(int i=1;i<=n;i++){(暴力)
//		for(int j=1;j<i;j++){
//			f[i]=min(f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]-l),f[i]);
//		}
//	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		while(hd<tl&&slope(q[hd],q[hd+1])<2*a(i)) hd++;
		f[i]=y(q[hd])+a(i)*a(i)-2*x(q[hd])*a(i);
		while(hd<tl&&slope(q[tl-1],q[tl])>slope(q[tl-1],i)) tl--;
		q[++tl]=i;
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}