CF893E Counting Arrays

对于每组数据，给出x和y，求一个长度为y的序列，其乘积为x，允许有负数，求这种序列的个数，对1e9+7取模

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首先不考虑正负号，那么我们可以把原题看作把(x)的质因子分配到序列的若干个位置中，那么设(x=prod_ip_i^{k_i})，则对于每个(p_i)，都有把(k_i)个小球放到(y)个有标号盒子中，并且盒子可以为空，相当于有(k_i+y)个小球放到(y)个有标号盒子中，每个盒子不能为空，于是用插板法解决，方案数为(egin{pmatrix}k_i+y-1\y-1end{pmatrix})。

然后考虑正负号的问题，我们肯定是每次选择序列中偶数个位置，把他们变为负数，所以有如下式子：

[sum_{i=0}^{lfloorfrac{y}{2} floor}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix} ]

考虑化简这个式子，那么先考虑(y)是奇数，那么有：

[egin{aligned}sum_{i=0}^{frac{y-1}{2}}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix}\ =sum_{i=0}^frac{y-1}{2}egin{pmatrix}y\iend{pmatrix}end{aligned}]

而我们发现(2^y=sum_{i=0}^yegin{pmatrix}y\iend{pmatrix},egin{pmatrix}y\iend{pmatrix}=egin{pmatrix}y\y-iend{pmatrix})，那么原式就(=2^{y-1})。

然后考虑(y)是偶数，那么有：

[sum_{i=0}^{frac{y}{2}}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix} ]

然后如果(frac{y}{2})是奇数，那么有：

[egin{aligned}2sum_{i=0}^{frac{frac{y}{2}-1}{2}}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix}\=2sum_{i=0}^{frac{y}{2}-1}egin{pmatrix}y-1\iend{pmatrix}end{aligned}\=2(2^{y-2})=2^{y-2} ]

而如果(frac{y}{2})是偶数，那么有：

[egin{aligned}2sum_{i=0}^{frac{frac{y}{2}-2}{2}}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix}end{aligned}+egin{pmatrix}y\frac{y}{2}end{pmatrix}\=2sum_{i=0}^{frac{y}{2}-2}egin{pmatrix}y-1\iend{pmatrix}+egin{pmatrix}y\frac{y}{2}end{pmatrix}\=2(2^{y-2}-egin{pmatrix}y-1\frac{y}{2}-1end{pmatrix})+egin{pmatrix}y-1\frac{y}{2}end{pmatrix}+egin{pmatrix}y-1\frac{y}{2}-1end{pmatrix}\=2^{y-1}+egin{pmatrix}y-1\frac{y}{2}end{pmatrix}-egin{pmatrix}y-1\frac{y}{2}-1end{pmatrix}\=2^{y-1} ]

综上所述可以得到(sum_{i=0}^{lfloorfrac{y}{2} floor}egin{pmatrix}y\2iend{pmatrix}=2^{y-1})。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 2e6;
const int p = 1e9 + 7;
using namespace std;
int T,x,y,fac[N + 5],inv[N + 5],ans;
int mypow(int a,int x){int s = 1;for (;x;x & 1 ? s = 1ll * s * a % p : 0,a = 1ll * a * a % p,x >>= 1);return s;}
int C(int n,int m)
{
    return 1ll * fac[n] * inv[n - m] % p * inv[m] % p;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= N;i++)
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % p;
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2;i <= N;i++)
        inv[i] = 1ll * (p - p / i) * inv[p % i] % p;
    inv[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= N;i++)
        inv[i] = 1ll * inv[i - 1] * inv[i] % p;
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ans = mypow(2,y - 1);
        int xx = x;
        for (int i = 2;i * i <= xx;i++)
            if (xx % i == 0)
            {
                int cnt = 0;
                while (xx % i == 0)
                {
                    xx /= i;
                    cnt++;
                }
                ans = 1ll * ans * C(cnt + y - 1,y - 1) % p;
            }
        if (xx != 1)
            ans = 1ll * ans * y % p;
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}