Family Door 的生日就要到了,Gabi(Family Door的好朋友)想要给他买一个礼物。Gabi决定买一个只包含 '('、')' 的字符串,毕竟 Family Door 最喜欢的字符串是长度为 (n) 的只包含 '('、')' 的字符串。
我们称一个只包含 '('、')' 的字符串“有效”当且仅当:
- '('的数量等于')'的数量;
- 对于该字符串的任意前缀,均满足'('的数量大于等于')'的数量;
Gabi 买了一个长度为 (m) 的只包含 '('、')' 的字符串 (S)。为了使它的长度达到 (n) ,Gabi要构造两个只包含'('、')'的字符串 (P,Q),然后将 (P,S,Q) 顺次连接得到字符串 (S') 。
给出Gabi买的字符串 (S),要使 (S') 有效,Gabi有多少种构造 (P,Q) 的方案?((P,Q)都可以为空)。
(1leq mleq nleq 100000,n-mleq 2000)
水篇题解QAQ
显然可以分开考虑(P,Q)的方案,设(f_{i,j})表示有(i)个((),(j)个())的方案数,这个可以很轻松的dp出来:
[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}
]
然后我们枚举(P)的((,))的情况,多注意一下就是(S)中())会比(()多,所以我们记下(S)中某个位置最多的())比(()多的个数(x),(P)中(()的个数就要比())多(x)。
然后(Q)的情况就不用多dp了,(j)个()),(i)个(()的方案数就是(f_{i,j})。
Code
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 1e5;
const int M = 2e3;
const int p = 1e9 + 7;
using namespace std;
int n,m,f[M + 5][M + 5],sm1,sm2,ans,mx;
char ch[N + 5];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
scanf("%s",ch + 1);
if (n % 2 == 1)
{
cout<<0<<endl;
return 0;
}
f[0][0] = 1;
for (int i = 1;i <= M;i++)
{
f[i][0] = 1;
for (int j = 1;j <= i;j++)
f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % p;
}
for (int i = 1;i <= m;i++)
{
if (ch[i] == '(')
sm1++;
if (ch[i] == ')')
sm2++;
mx = max(sm2 - sm1,mx);
}
for (int i = 0;i <= n / 2 - sm1;i++)
for (int j = 0;j <= n / 2 - sm2;j++)
if (i - j >= mx)
ans += 1ll * f[i][j] * f[n / 2 - sm2 - j][n / 2 - sm1 - i] % p,ans %= p;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}