[Violet]樱花

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BZOJ
luogu
一道有意思的推式子题

[frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{N!} ]

[frac{x+y}{xy}=frac{1}{N!} ]

[xy-(x+y)N!=0 ]

[(N!)^2+xy-(x+y)N!=(N!)^2 ]

[(x-N!)(y-N!)=(N!)^2 ]

由于x,y为任意正整数,所以x-N!,y-N!也为任意正整数
于是有$$xy=(N!)^2$$
考虑把N!分解质因数,(N!=p_1^{k_1}+p_2^{k_2}+p_3^{k_3}+...)
那么((N!)^2=p_1^{2k_1}+p_2^{2k_2}+p_3^{2k_3}+...)
显然如果确定了x,那么y是唯一的
x有多少种可能?((2k_1+1)(2k_2+1)(2k_3+1)...)
然后线筛一下,(O(nlogn))分解2~n即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5,_=1e5,p=1e9+7;
int n,cnt,ans=1,pri[_],mn[N],t[_];
bool isp[N];
void fact(int x){
	if(x==1)return;t[mn[x]]++;fact(x/pri[mn[x]]);
}
int main(){
	cin>>n;
	memset(isp,1,sizeof(isp));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(isp[i]){pri[++cnt]=i;mn[i]=cnt;}
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++){
			isp[pri[j]*i]=0;mn[pri[j]*i]=j;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)fact(i);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)ans=1ll*ans*(2*t[i]+1)%p;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}