洛谷P1880 石子合并 纪中2119. 环状石子归并
题目描述1
在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.
输入格式
数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.
输出格式
输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.
输入输出样例
4 4 5 9 4
43 54
(File IO): input:stone.in output:stone.out
题目描述2
在一个环状跑道上摆放着N堆石子，现在要将所有的石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。问最少的总得分是多少？
输入
第一行为石子堆数N。
从第2行到第N + 1行，每行一个正整数。第i个数表示第i堆石子的石子数。
输出
在第一行输出一个整数，表示最少的总得分。
样例输入
4
4
5
9
4
样例输出
43
数据范围限制
在40%的数据中，1 ≤ N ≤ 100
在60%的数据中，1 ≤ N ≤ 200
在100%的数据中，1 ≤ N ≤ 2000
保证输入数据中每堆石子的石子数不超过10000
Solution
此题为区间DP+四边形不等式
这是我第一次见到区间DP
洛谷上既要求最大值，也要求最小值，（多写几句话的事~）但是数据范围最大只有100
jzoj上就恶心了，虽然只要求最小值，但是数据范围最大为2000！
Algorithm1
标准的区间DP
由于这是环形的，所以要把整个跑道复制一遍
可以在输入的同时操作
（约定：s[i]表示第i（0~n-1）堆石子的数量）
for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i],s[i+n]=s[i];
做DP前要先弄清楚“阶段”，“状态”，“决策”；
由于首先要合并两堆，再在两堆的基础上合并三堆，再在三堆的基础上合并四堆……以此类推。
并且，每次要选相邻的两堆合并（这就是为什么不能像“合并果子那样使用贪心”）
所以，每一个阶段就是合并去=的区间长度 len
这个len在循环的最外层，从2至n（最少合并2堆）
其次是状态
状态即为最初的第l堆石子和第r堆石子被合并，
同时l~r这段区间的长度为阶段——len。
所以我们要枚举的状态就是左端点
范围：左极限为0，右极限为右端点<n
最内层是决策
顾名思义：
就是决定当前应该选哪两堆来合并
对于目前长度为len的区间[l,r)
可以选出一个中间点k∈[l,r)
表示先合并了[l,k]，再合并[k+1,r)
所以决策就是中间点k
同时还要计算合并这两堆石子所需要的体力（即为两堆石子的石子数量之和）
可以使用前缀和计算
Code1
洛谷Code
1 #include<iostream>//不想OI一场空，千万别用万能头 2 #include<algorithm>//快排sort() 3 #include<cstdio>//能不用cin就不用 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<vector> 9 #include<queue> 10 #define IL inline 11 using namespace std; 12 13 int s[201],n,minn=0x3f3f3f3f,maxn; 14 int dpmin[201][201],dpmax[201][201]; 15 int sum[201]; 16 int main() 17 { 18 cin>>n; 19 memset(dpmin,0x3f,sizeof(dpmin)); 20 for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i],s[i+n]=s[i]; 21 for(int i=0;i<2*n;i++) 22 dpmin[i][i]=0; 23 sum[0]=s[0]; 24 for(int i=1;i<2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+s[i]; 25 for(int len=2;len<=n;len++) 26 { 27 for(int l=0;l+len-1<2*n;l++) 28 { 29 for(int k=l;k<l+len-1;k++) 30 dpmin[l][l+len-1]=min(dpmin[l][l+len-1],dpmin[l][k]+dpmin[k+1][l+len-1]), 31 dpmax[l][l+len-1]=max(dpmax[l][l+len-1],dpmax[l][k]+dpmax[k+1][l+len-1]); 32 dpmin[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1]; 33 dpmax[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1]; 34 } 35 } 36 for(int i=0;i<n;i++) 37 minn=min(minn,dpmin[i][i+n-1]),maxn=max(maxn,dpmax[i][i+n-1]); 38 cout<<minn<<endl<<maxn; 39 return 0; 40 }
纪中Code1（70分）
1 #include<iostream>//不想OI一场空，千万别用万能头 2 #include<algorithm>//快排sort() 3 #include<cstdio>//能不用cin就不用 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<vector> 9 #include<queue> 10 #define IL inline 11 using namespace std; 12 13 int s[4001],n,minn=0x3f3f3f3f; 14 int f[4001][4001]; 15 int sum[4001]; 16 IL int read() 17 { 18 int res=0; 19 char ch=getchar(); 20 while(ch<'0'||ch>'9') 21 ch=getchar(); 22 while(ch>='0'&&ch<='9') 23 res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar(); 24 return res; 25 } 26 27 int main() 28 { 29 // freopen("stone.in","r",stdin); 30 // freopen("stone.out","w",stdout); 31 n=read(); 32 memset(f,0x3f,sizeof(f)); 33 for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),s[i+n]=s[i]; 34 for(int i=1;i<=2*n;i++) 35 f[i][i]=0,sum[i]=sum[i-1]+s[i]; 36 for(int len=2;len<=n;len++) 37 { 38 for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++) 39 { 40 for(int k=l;k<l+len-1;k++) 41 f[l][l+len-1]=min(f[l][l+len-1],f[l][k]+f[k+1][l+len-1]); 42 f[l][l+len-1]+=sum[l+len-1]-sum[l-1]; 43 } 44 } 45 for(int i=1;i<=n;i++) 46 minn=min(minn,f[i][i+n-1]); 47 cout<<minn; 48 return 0; 49 }
为什么折叠？
纪中此题的范围是2000，要用到四边形不等式优化成n2才能过……毒瘤呀
Attention1
所有数组都要开两倍大——这是环状变链状。
Algorithm2
四边形不等式
对于一个函数f(i,j)，有四个值a<=b<c<=d
使得f(a,b)+f(c,d)<f(a,c)+f(b,d)
那么这个函数满足四边形不等式
可以放到决策k时使用
至于证明嘛……打表证吧
Impression
2019-08-22 11:51:55
与此同时……
哪个人知道我们听不懂今天的讲课会都回来，故意放了比赛？？？