洛谷P1004 方格取数 动态规划 多维DP
题目描述
设有N×N的方格图(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）:
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B
某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数N（表示N×N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式
只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
输入输出样例
输入 #1
8 2 3 13 2 6 6 3 5 7 4 4 14 5 2 21 5 6 4 6 3 15 7 2 14 0 0 0
输出 #1
67
说明/提示
NOIP 2000 提高组第四题
Solution
这道题最初我还以为可以使用贪心，两遍dfs……
但是会有一些特殊情况
比如：
0 1 1
3 3 3
1 1 0
若用贪心，第一条路应该是“0 3 3 3 0”=9
第二条路是“0 1 1 0 0”=2
总和为11
但是如果第一次走“0 1 3 3 0”=7
第二条路走“0 3 1 1 0”=5
总和为12
好了，这种贪心已经被证明是错误的了
Algorithm1
四维DP
由于两条路径的长度是相同的
又为了满足DP的“递推规则”
我在这里设前两维表示第一条路已经走到了第i行第j列
后两维表示第二条路已经走到了第k行第l列
那么DP[i][j][k][l]=四周DP的最大值+当前两条路走到的格子的价值
如果i==k并且k===l
说明这两条路走到了一起
所以这时只要计算一遍这一格的价值。
Code1
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #define IL inline 11 #define re register 12 using namespace std; 13 14 IL int read() 15 { 16 re int res=0; 17 re char ch=getchar(); 18 while(ch<'0'||ch>'9') 19 ch=getchar(); 20 while(ch>='0'&&ch<='9') 21 res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar(); 22 return res; 23 } 24 int n; 25 int f[10][10]; 26 int dp[10][10][10][10]; 27 int main() 28 { 29 n=read(); 30 int tx=read(),ty=read(),tz=read(); 31 while(tx!=0||ty!=0||tz!=0) 32 { 33 f[tx][ty]=tz; 34 cin>>tx; 35 cin>>ty; 36 cin>>tz; 37 } 38 for(int i=1;i<=n;i++) 39 for(int j=1;j<=n;j++) 40 for(int k=1;k<=n;k++) 41 for(int l=1;l<=n;l++) 42 { 43 int now=0; 44 now=max(now,dp[i-1][j][k][l-1]+f[i][j]+f[k][l]); 45 now=max(now,dp[i][j-1][k][l-1]+f[i][j]+f[k][l]); 46 now=max(now,dp[i-1][j][k-1][l]+f[i][j]+f[k][l]); 47 now=max(now,dp[i][j-1][k-1][l]+f[i][j]+f[k][l]); 48 if(i==k&&j==l) now-=f[i][j]; 49 dp[i][j][k][l]=now; 50 } 51 cout<<dp[n][n][n][n]; 52 return 0; 53 }
Algorithm2
事实上，我们可以发现
由于两条路是同时走的
所以当前的格子与起点（终点）的曼哈顿距离是相同的
即
$$i+j==k+l$$
那不就可以省去l了嘛，通过i，j，k就可以计算出相对应的合法的l！
Code2
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #define IL inline 11 #define re register 12 using namespace std; 13 14 IL int read() 15 { 16 re int res=0; 17 re char ch=getchar(); 18 while(ch<'0'||ch>'9') 19 ch=getchar(); 20 while(ch>='0'&&ch<='9') 21 res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar(); 22 return res; 23 } 24 int n; 25 int f[10][10]; 26 int dp[10][10][10]; 27 int main() 28 { 29 n=read(); 30 int tx=read(),ty=read(),tz=read(); 31 while(tx!=0||ty!=0||tz!=0) 32 { 33 f[tx][ty]=tz; 34 cin>>tx; 35 cin>>ty; 36 cin>>tz; 37 } 38 for(int i=1;i<=n;i++) 39 for(int j=1;j<=n;j++) 40 for(int k=1;k<=n&&i+j-k>0;k++) 41 { 42 int now=0; 43 now=max(now,dp[i-1][j][k]+f[i][j]+f[k][i+j-k]); 44 now=max(now,dp[i][j-1][k]+f[i][j]+f[k][i+j-k]); 45 now=max(now,dp[i-1][j][k-1]+f[i][j]+f[k][i+j-k]); 46 now=max(now,dp[i][j-1][k-1]+f[i][j]+f[k][i+j-k]); 47 if(i==k) now-=f[k][i+j-k]; 48 dp[i][j][k]=now; 49 } 50 cout<<dp[n][n][n]; 51 return 0; 52 }
Attention
记得判断两条路是否走到了同一个格子上。
End