线性代数之——复数矩阵

为了完整地展示线性代数，我们必须包含复数。即使矩阵是实的，特征值和特征向量也经常会是复数。

1. 虚数回顾

虚数由实部和虚部组成，虚数相加时实部和实部相加，虚部和虚部相加，虚数相乘时则利用 (i^2=-1)。

在虚平面，虚数 (3+2i) 是位于坐标 ((3, 2)) 的一个点。复数 (z=a+bi) 的共轭为 (ar z=z^*=a-bi)。

在极坐标下，复数则可以写作模长和极角的形式。

两个复数相乘是模长相乘，极角相加。

[(re^{i heta})^n=r^ne^{in heta} ]

2. 厄米特（Hermitian）矩阵和酉（Unitary）矩阵

这部分的重点可以用一句话来介绍：当你对一个复数向量或者矩阵进行转置时，同时对它们取共轭。

为什么要这样做呢？一个理由是复数向量长度的特殊性。针对实向量，其长度的平方为 (x_1^2+cdots+x_n^2)，但复数向量长度的平方并不是 (z_1^2+cdots+z_n^2)。比如 (z=(1, i)) 长度的平方并不是 (1^2+i^2=0)，而应该是 (zar z=1^2+|i^2|=2)。

我们定义一个新符号，(ar z^T=z^H)，来表示向量的共轭转置，这个符号也可以应用到矩阵中去。

同时，我们也要对向量的内积定义进行一下扩展，但内积为零仍然表明正交。

这时候，向量的顺序就变得重要了。

[oldsymbol v^Holdsymbol u=ar v_1u_1+cdots+ar v_nu_n=(oldsymbol u^Holdsymbol v)^* ]

一个厄米特矩阵满足 (A^H=A)，每一个实对称矩阵都是厄米特的，因为实数的共轭还是它本身。

如果 (A^H=A)，(oldsymbol z) 是任意向量，那么 (oldsymbol z^HAoldsymbol z) 是实数。

[(z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz ]

来自对角线上的两项都是实数，而来自非对角线上的两项互为共轭，相加之后也为实数。

厄米特矩阵的每个特征值都是实数。

[Aoldsymbol z=lambda oldsymbol z o oldsymbol z^HAoldsymbol z=lambda oldsymbol z^H oldsymbol z ]

上式左边为实数，(oldsymbol z^Holdsymbol z) 是长度的平方，是正实数，所以特征值也必须为实数。

厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。

[ ag{1}Aoldsymbol z=lambda oldsymbol z o oldsymbol y^HAoldsymbol z=lambda oldsymbol y^Holdsymbol z ]

[ ag{2}Aoldsymbol y=eta oldsymbol y o oldsymbol z(Aoldsymbol y)^H=oldsymbol z(eta oldsymbol y)^H o oldsymbol y^HAoldsymbol z=eta oldsymbol y^Holdsymbol z ]

比较 (1) 式和 (2) 式可得，两式左边相等，所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样，所以有 (y^Holdsymbol z=0)，两个特征向量正交。

酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。

任意有着标准正交列的矩阵满足 (U^HU=I)，如果它还是一个方阵，那么有 (U^H=U^{-1})。

一个酉矩阵乘以任意向量，向量的长度保持不变。

[oldsymbol z^HU^HUoldsymbol z=oldsymbol z^Holdsymbol z ]

而且，酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。

最后，我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。

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