1. 线性相关性
矩阵 (A) 的列是线性不相关的当且仅当 (Ax=oldsymbol0) 的唯一解是 (x=oldsymbol0)。没有其它的线性组合能给出零向量。
在三维空间中，如果三个向量 (v_1, v_2, v_3) 不在同一个平面中，那它们就是不相关的，只有 (0v_1+0v_2+0v_3) 能给出零向量。如果三个向量 (v_1, v_2, v_3) 位于同一个平面中，那它们就是相关的。
一系列向量 (v_1, v_2cdots v_n) 是线性不相关的当且仅当给出零向量的唯一线性组合是 (0v_1+0v_2cdots +0v_n)。
如果一个线性组合给出零向量，但不是所有的系数都为零，那么它们就是相关的。
矩阵 (A) 的列是线性不相关的当且仅当其秩 (r=n)。这时候有 (n) 个主元没有自由变量，零空间中只有一个零向量。
假设在一个矩阵有 5 列，每一列都属于 (R^3)，那它们肯定是线性相关的。因为矩阵最多有 3 个主元，那就意味着至少有 5-3=2 个自由变量。
如果 (n>m)，那么在 (R^m) 中的 (n) 个向量一定是线性相关的。
一系列向量可以扩充出（span）一个空间如果它们的线性组合填满了这个空间。列空间就是所有的列扩充出的子空间。
行空间是由矩阵的行扩充出的子空间，(A) 的行空间称为 (C(A^T))，它是 (A^T) 的列空间。
2. 基
两个向量不能扩充出 (R^3) 空间，即使它们是不相关的。四个向量如果只扩充出了 (R^3) 空间，那它们肯定是不是不相关的。我们需要足够的向量来扩充出一个空间，而基就刚刚好。
一个向量空间的基是一组向量，并且满足：它们都是线性不相关的并且它们能扩充出这个空间。
这个空间中的任何向量都可以表示为这些基的线性组合，而且是唯一的线性组合。
向量 (v_1, v_2cdots v_n) 是 (R^n) 的一个基当且仅当它们是一个 (n*n) 的可逆矩阵的列。因此， (R^n) 可能有无穷多个基。
矩阵 (A) 和 (R) 的行空间是一样的，主行是行空间的一个基；矩阵 (A) 和 (R) 的列空间是不一样的，但它们的维数是一样的。
3. 维数
一个向量空间的所有基都包含相同数量的向量，基中向量的个数，称为空间的维数。
假设 (v_1, v_2cdots v_m) 和 (w_1, w_2cdots w_n) 都是同一个向量空间的基，那么一定有 (m=n)。
如果 (m ot = n)，我们假设 (n>m)，因为 (v_1, v_2cdots v_n) 是其中一个基，那么 (w_1, w_2cdots w_m) 就都可以表示成它们的线性组合。
我们不知道每一个系数 (a_{ij}) 的值，但我们知道矩阵 (A) 的大小为 (m×n)，因此 (VAx = 0) 也就有非零解，也就是 (Wx = 0) 有非零解，这就是说 (w_1, w_2cdots w_n) 是线性相关的，它们不可能是一个基。
同理，我们也可以证明 (m>n) 是不可能的，因此一定有 (m=n)。
一个空间的维数就是每个基中向量的个数。
3. 矩阵空间和函数空间
相关性、基和维数不仅仅局限于向量空间，也适用于矩阵空间和函数空间。
一个包含所有 2×2 矩阵的向量空间，它的维数是 4。
这些矩阵是线性不相关的，我们不仅仅是看它们的列，而是将整个矩阵看作是一个“向量”。
只有当 (c_1 = c_2=c_3=c_4=0) 时，矩阵才全为零，这也进一步验证了它们是不相关的。
二阶线性微分方程的解空间维数为 2。
空间 (oldsymbol Z) 仅仅包含零向量，它的维数为 0，不包含任何向量的空集是它的一个基。任何基中都不能包含零向量，因为这会破坏线性不相关性。
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