什么是素数就不用多说了吧~~
素数定理：设小于正实数n的素数有f(n)个，f(n)≈n/ln(n)。
推论：令pn是第n个素数，其中n是正整数，那么pn≈n×ln(n)。
定理：对于任意的正整数n，至少存在n个连续的正合数。
关于素数的猜想：
1、伯特兰猜想：对于任意给定的正整数n，其中n>1，都存在一个素数p，使得n<p<2n。（切比雪夫已证明）
2、孪生素数猜想：存在无穷多的形如p和p+2的素数对。（陈景润已证明）
3、哥德巴赫猜想：每个大于2的正偶数都可以写成两个素数的和。（已验证所有小于4×1014的偶数都满足这个猜想）
4、n2+1猜想：存在无穷多个形如n2+1的素数，其中n是正整数。
素数测试：
1、埃拉托色尼筛法
基本素数判别法：正整数n是素数，当且尽当它不能被任何一个小于√n的素数整除。
定理：如果n是一个合数，那么n一定有不超过√n的素因子。
1 //pri[i]为0的i是素数 2 int pri[maxn]; 3 memset(pri,0,sizeof(pri)); 4 pri[0]=pri[1]=1; 5 for(int i=2;i*i<maxn;i++){ 6 if(!pri[i]){ 7 for(int j=i*i;j<maxn;j+=i){ 8 pri[j]=1; 9 } 10 } 11 }
2、6N+1法
所有的素数都可以表示成6N±1的形式
注：当n过大时，可以先求出小于√n的素数表，然后用基本素数判别法判断。
例题 POJ - 2689
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 using namespace std; 5 #define CLR(m,a) memset(m,a,sizeof(m)) 6 #define LL long long 7 const int maxn=50010; 8 const int inf=0x3f3f3f3f; 9 int prepri[maxn],vis[maxn*20]; 10 int cnt=0; 11 int pri[maxn*20]; //存L到R之间的素数 12 13 void init() 14 { 15 CLR(vis,1); 16 cnt=0; 17 for(LL i=2;i<maxn;i++)if(vis[i]){ 18 prepri[cnt++]=i; 19 for(LL j=i*i;j<maxn;j+=i) vis[j]=0; 20 } 21 } 22 23 int main() 24 { 25 LL L,R; 26 while(scanf("%lld%lld",&L,&R)!=EOF){ 27 init(); 28 CLR(vis,1); //假设全是素数 29 for(int i=0;i<cnt;i++){ 30 LL b=L/prepri[i]; 31 while(b*prepri[i]<L||b<=1) b++; //小于L的不用管 32 for(LL j=b*prepri[i];j<=R;j+=prepri[i])if(j>=L){ 33 vis[j-L]=0; 34 } 35 if(L==1) vis[0]=0; //1不是素数 36 } 37 LL minn=inf,maxx=-inf; 38 LL x1,y1,x2,y2; 39 int prict=0; 40 for(int i=0;i<=R-L;i++) if(vis[i]) 41 pri[prict++]=L+i; 42 if(prict<=1) puts("There are no adjacent primes."); 43 else { 44 for(int i=1;i<prict;i++){ 45 if(pri[i]-pri[i-1]<minn){ 46 minn=pri[i]-pri[i-1]; 47 x1=pri[i-1];y1=pri[i]; 48 } 49 if(pri[i]-pri[i-1]>maxx){ 50 maxx=pri[i]-pri[i-1]; 51 x2=pri[i-1];y2=pri[i]; 52 } 53 } 54 printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant. ",x1,y1,x2,y2); 55 } 56 57 } 58 return 0; 59 }
基本算术定理：
每个大于1的正整数n都可以唯一地被写成素数的乘积，在乘积中的素因子按照非降序排列。
性质：
1、若n的标准素因子分解表达式为n=p1a1+p2a2+……+pnan ,设d(n)为n的正因子个数，Φ(n)为n的所有因子之和
则d(n)=(a1+1)×(a2+1)×……×(an+1)，Φ(n)=
可以用数列求和公式
2、n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]+……
编辑公式好麻烦，就写这两个吧。。。
例题nefu118，计算n!后面有多少个0。按照公式2，计算素数5的幂即可（因为2的幂一定大于5的幂）。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 int main(){ 5 int m; 6 scanf("%d",&m); 7 while(m--){ 8 int n; 9 scanf("%d",&n); 10 int tmp=5; 11 int ans=0; 12 while(tmp<=n){ 13 ans=ans+n/tmp; 14 tmp=tmp*5; 15 } 16 printf("%d ",ans); 17 } 18 return 0; 19 }
例题nefu119，计算C(2n,n)被素数p整除多少次。（先把组合数公式写出来，然后和上题类似，分子分母分别计算，然后相减）
还有梅森素数没写，等等~