素数

 什么是素数就不用多说了吧~~

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素数定理：设小于正实数n的素数有f(n)个，f(n)≈n/ln(n)。

推论：令p_n是第n个素数，其中n是正整数，那么p_n≈n×ln(n)。

定理：对于任意的正整数n，至少存在n个连续的正合数。

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关于素数的猜想：

1、伯特兰猜想：对于任意给定的正整数n，其中n>1，都存在一个素数p，使得n<p<2n。（切比雪夫已证明）

2、孪生素数猜想：存在无穷多的形如p和p+2的素数对。（陈景润已证明）

3、哥德巴赫猜想：每个大于2的正偶数都可以写成两个素数的和。（已验证所有小于4×10¹⁴的偶数都满足这个猜想）

4、n²+1猜想：存在无穷多个形如n²+1的素数，其中n是正整数。

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 素数测试：

1、埃拉托色尼筛法

基本素数判别法：正整数n是素数，当且尽当它不能被任何一个小于√n的素数整除。

定理：如果n是一个合数，那么n一定有不超过√n的素因子。

//pri[i]为0的i是素数
    int pri[maxn];
    memset(pri,0,sizeof(pri));
    pri[0]=pri[1]=1;
    for(int i=2;i*i<maxn;i++){
        if(!pri[i]){
            for(int j=i*i;j<maxn;j+=i){
                pri[j]=1;
            }
        }
    }

2、6N+1法

所有的素数都可以表示成6N±1的形式

 注：当n过大时，可以先求出小于√n的素数表，然后用基本素数判别法判断。

例题 POJ - 2689

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define CLR(m,a) memset(m,a,sizeof(m))
#define LL long long
const int maxn=50010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int prepri[maxn],vis[maxn*20];
int cnt=0;
int pri[maxn*20];  //存L到R之间的素数

void init()
{
    CLR(vis,1);
    cnt=0;
    for(LL i=2;i<maxn;i++)if(vis[i]){
        prepri[cnt++]=i;
        for(LL j=i*i;j<maxn;j+=i) vis[j]=0;
    }
}

int main()
{
    LL L,R;
    while(scanf("%lld%lld",&L,&R)!=EOF){
        init();
        CLR(vis,1); //假设全是素数
        for(int i=0;i<cnt;i++){
            LL b=L/prepri[i];
            while(b*prepri[i]<L||b<=1) b++;  //小于L的不用管
            for(LL j=b*prepri[i];j<=R;j+=prepri[i])if(j>=L){
                vis[j-L]=0;
            }
            if(L==1) vis[0]=0;  //1不是素数
        }
        LL minn=inf,maxx=-inf;
        LL x1,y1,x2,y2;
        int prict=0;
        for(int i=0;i<=R-L;i++) if(vis[i])
            pri[prict++]=L+i;
        if(prict<=1) puts("There are no adjacent primes.");
        else {
            for(int i=1;i<prict;i++){
                if(pri[i]-pri[i-1]<minn){
                    minn=pri[i]-pri[i-1];
                    x1=pri[i-1];y1=pri[i];
                }
                if(pri[i]-pri[i-1]>maxx){
                    maxx=pri[i]-pri[i-1];
                    x2=pri[i-1];y2=pri[i];
                }
            }
            printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.
",x1,y1,x2,y2);
        }

    }
    return 0;
}

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基本算术定理：

　　每个大于1的正整数n都可以唯一地被写成素数的乘积，在乘积中的素因子按照非降序排列。

性质：

　　1、若n的标准素因子分解表达式为n=p₁^a₁+p₂^a₂+……+p_n^a_n  ,设d(n)为n的正因子个数，Φ(n)为n的所有因子之和

　　　　则d(n)=(a₁+1)×(a₂+1)×……×(a_n+1)，Φ(n)= 可以用数列求和公式

　　2、n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p²]+[n/p³]+……

编辑公式好麻烦，就写这两个吧。。。

例题nefu118，计算n!后面有多少个0。按照公式2，计算素数5的幂即可（因为2的幂一定大于5的幂）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    int m;
    scanf("%d",&m);
    while(m--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int tmp=5;
        int ans=0;
        while(tmp<=n){
            ans=ans+n/tmp;
            tmp=tmp*5;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

 例题nefu119，计算C(2n,n)被素数p整除多少次。（先把组合数公式写出来，然后和上题类似，分子分母分别计算，然后相减）

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还有梅森素数没写，等等~