【算法】什么是时间复杂度

一、衡量代码好坏的两个指标

1.运行时间

2.占用空间

二、什么是时间复杂度

1、基本操作执行次数

 关于代码的基本操作执行次数，我们用四个生活中的场景来做一下比喻：

场景1. 给小灰一条长10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？

答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一个函数来表达这个相对时间，可以记作 T（n） = 3n。

场景2.  给小灰一条长16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余长度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

这个问题翻译一下，就是数字16不断地除以2，除几次以后的结果等于1？这里要涉及到数学当中的对数，以2位底，16的对数，可以简写为log16。

因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果面包的长度是 N 寸呢？ 

需要 5 X logn = 5logn天，记作 T（n） = 5logn。

场景3.  给小灰一条长10寸的面包和一个鸡腿，小灰每2天吃掉一个鸡腿。那么小灰吃掉整个鸡腿需要多少天呢？

答案自然是2天。因为只说是吃掉鸡腿，和10寸的面包没有关系 。

如果面包的长度是 N 寸呢？ 

无论面包有多长，吃掉鸡腿的时间仍然是2天，记作 T（n） = 2

场景4.  给小灰一条长10寸的面包，小灰吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小灰吃掉整个面包需要多少天呢？

答案是从1累加到10的总和，也就是55天。

如果面包的长度是 N 寸呢？

此时吃掉整个面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

记作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。

场景1， T（n） = 3n，执行次数是线性的。

场景2， T（n） = 5logn，执行次数是对数的。

场景3，T（n） = 2，执行次数是常量的。

场景4，T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，执行次数是一个多项式。

2、渐进时间复杂度

 

有了基本操作执行次数的函数 T（n），是否就可以分析和比较一段代码的运行时间了呢？还是有一定的困难。

比如算法A的相对时间是T（n）= 100n，算法B的相对时间是T（n）= 5n^2，这两个到底谁的运行时间更长一些？这就要看n的取值了。

所以，这时候有了渐进时间复杂度（asymptotic time complectiy）的概念，官方的定义如下：

若存在函数 f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/ f（n）的极限值为不等于零的常数，则称 f（n）是T（n）的同数量级函数。

记作 T（n）= O（f（n）），称O（f（n）） 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

渐进时间复杂度用大写O来表示，所以也被称为大O表示法。

如何推导出时间复杂度呢？有如下几个原则：

1. 如果运行时间是常数量级，用常数1表示。

2. 只保留时间函数中的最高阶项

3. 如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

让我们回头看看刚才的四个场景。

场景1：

T（n） = 3n 

最高阶项为3n，省去系数3，转化的时间复杂度为：

T（n） =  O（n）

场景2：

T（n） = 5logn 

最高阶项为5logn，省去系数5，转化的时间复杂度为：

T（n） =  O（logn）

场景3：

T（n） = 2

只有常数量级，转化的时间复杂度为：

T（n） =  O（1）

场景4：

T（n） = 0.5n^2 + 0.5n

最高阶项为0.5n^2，省去系数0.5，转化的时间复杂度为：

T（n） =  O（n^2）

这四种时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？稍微思考一下就可以得出结论：

 O（1）< O（logn）< O（n）< O（n^2）

 在编程的世界中有着各种各样的算法，除了上述的四个场景，还有许多不同形式的时间复杂度，比如：

O（nlogn）, O（n^3）, O（m*n），O（2^n），O（n！）

 

今后遨游在代码的海洋里，我们会陆续遇到上述时间复杂度的算法。