问题
给出一个二叉树，找到其中的最大路径和。
路径可以从树中任意一个节点开始和结束。
例如：
给出如下二叉树，
1
/ \
2 3
返回6。
初始思路
为了简化分析，我们先假设二叉树中所有节点的值都是正数。通过观察可以发现，一棵二叉树的最大路径，就是其左子树的最大路径加上右子树的最大路径。看起来可以从根节点出发通过深度优先递归来求解：
函数 查找路径
如果是叶子节点，返回叶子节点的值
如果不是叶子节点
左子树路径和 ＝ 查找路径（左子树）
右子树路径和 ＝ 查找路径（右子树）
如果左子树路径＋右子树路径和＋当前节点值 > 当前最大路径，更新最大路径
返回左子树路径＋右子树路径和＋当前节点值
用题目中的简单例子来验证，是可以得出答案的。但是使用复杂一点的树来验证后就发现其中的问题了，如
1
/ \
2 3
/ \
4 5
使用前面的伪代码得出的结果是15，但是其实答案应该是11，由3，1，2，5或者2，4，5得到。分析可以发现问题在于计算2，4，5这棵子树时，它的最长路径为11，这是正确的。但是当它作为左子树向父节点返回最长路径时，因该返回7而不是11。因为从1出发不走重复路径不可能同时到达4或5的－通常二叉树节点路径的定义是每个节点只能访问一次，通过测试数据也可以验证题目就是这样要求的。因此我们需要两个最大值，一个是当前树的最大路径，即前面伪代码算出来的那个值；另一个是当前树向父节点提供的最大路径，这个值应该是根节点的值加上路径最长的子树那边的最大路径。我们向上层递归函数返回这个值。
好了，现在全是正数的情况解决了。让我们开始把负数引入。负数引入后，将会导致以下几个变化：
- 叶子节点的值也有可能成为最大路径。在全是正数的情形下，叶子节点的值肯定不可能会是最大路径，因为加上父节点的值后必然会变大。有了负数以后，这个情况就不成立了，如：
－1
/
3
这时最大路径就是3。
- 当前树最大路径的计算方法。有了负数以后不能简单的把左子树返回的值，右子树返回的值及当前的值相加了。这里我们把各种情况列举出来：
- 当前值为正，子树返回值都为正：全相加
- 当前值为正，子树返回值有一个为正：当前值＋正的那个值，因为负值只会让结果变小。
- 当前值为正，子树返回值都是负：只取当前值，负值越加越小。
- 当前值为负，子树返回的值都为正：全相加，虽然值会变小，但是没有当前节点左右就不能联通。
- 当前值为负，子树返回值有一个为正：当前值＋正的那个值。
- 当前值为负，子树返回值都为负：当前值，负值越加越小。
- 向父节点提供的最大路径的计算方法。和当前树最大路径计算方法基本一样。就是仍然要左子树右子树的值只能取大的那个。
将上面分析转换成代码，并加入一些细节如没有左（右）子树的判断。请注意由于节点的取值范围并没有限定，所以不能使用某个特殊值作为没有左（右）子树的标志。结果如下：
1 class Solution { 2 public: 3 int maxPathSum(TreeNode *root) 4 { 5 if(!root) 6 { 7 return 0; 8 } 9 10 maxSum_ = 0; 11 firstValue_ = true; 12 13 CountPathSum(root); 14 15 return maxSum_; 16 } 17 18 private: 19 int CountPathSum(TreeNode* root) 20 { 21 if(root->left == 0 && root->right == 0) 22 { 23 if(firstValue_ || root->val > maxSum_) 24 { 25 maxSum_ = root->val; 26 firstValue_ = false; 27 } 28 return root->val; 29 } 30 else 31 { 32 int left = 0; 33 int right = 0; 34 if(root->left) 35 { 36 left = CountPathSum(root->left); 37 } 38 39 if(root->right) 40 { 41 right = CountPathSum(root->right); 42 } 43 44 int currentBest = 0; 45 int sumInPah = 0; 46 47 if(left > 0 && right > 0) 48 { 49 currentBest = left + right; 50 51 sumInPah = left > right ? left : right; 52 } 53 else if(left > 0) 54 { 55 currentBest = left; 56 sumInPah = left; 57 } 58 else if(right > 0) 59 { 60 currentBest = right; 61 sumInPah = right; 62 } 63 else 64 { 65 if(!root->left) 66 { 67 currentBest = right; 68 } 69 else if(!root->right) 70 { 71 currentBest = left; 72 } 73 else 74 { 75 currentBest = left > right ? left : right; 76 77 } 78 sumInPah = currentBest; 79 } 80 81 //前面已做只取正值的处理，如果还小于零说明两个都是负数 82 if(sumInPah < 0) 83 { 84 sumInPah = root->val; 85 } 86 else 87 { 88 sumInPah += root->val; 89 } 90 91 if(currentBest < 0) 92 { 93 currentBest = root->val; 94 } 95 else 96 { 97 currentBest += root->val; 98 } 99 100 if(currentBest > maxSum_) 101 { 102 maxSum_ = currentBest; 103 } 104 105 return sumInPah; 106 } 107 } 108 109 int maxSum_; 110 bool firstValue_; 111 };
提交后Judge Small和Judge Large都顺利通过。