BZOJ 3505

3505: [Cqoi2014]数三角形

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codevs3693 数三角形同题：http://codevs.cn/problem/3693/

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

HINT

Source

题解：

1、先不考虑三角形，从n*m的网格里面任意选取3个点，一共有多少种方案？ C(n*m,3) 现在，这3个点必须要构成三角形，有哪种情况需要去除？三点共线的情况。我们用C(n*m,3)减去三点共线的情况，最后得到的就是答案。

2、一个n*m的网格，有多少种选法，选择3个点是三点共线的？这是一个5*7的网格

如果固定左上角和右下角这两个点，一共有多少个点和它们共线？

3、

大三角形和小三角形是相似的小三角形的直角边长x’和y’应该是大三角形的直角边长X和Y的约数所能放下的点的个数-1是X/x’=Y/y’,这个数也是X的约数，同时也是Y的约数所以最多能放gcd(X,Y)-1个点。

4、

回到刚才那个问题的话，一个n*m的网格，它的两条边的长度分别是n-1和m-1，所以对角线上最多有gcd(n-1,m-1)-1个点在格线上。再看这道题本身，我们求有多少种选取三个点的选法，满足三点共线，可以分这两种情况所在直线水平/竖直所在直线是斜的

所在直线水平/竖直： n*C(m,3)+m*C(n,3) 所在直线是斜的：先用一个双重循环，枚举三个点中以两头的两个点为对角线所构成的网格的大小如果以这两个点为对角线构成了一个n’*m’的网格，则以它们为两头的点，一共有gcd(n’-1,m’-1)-1种选法可以三点共线

5、

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll unsigned long long 
ll n,m;
ll gcd(ll a,ll b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
ll C(ll x){
    return x*(x-1)/2*(x-2)/3;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    ll ans=C((m+1)*(n+1));
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            if(i||j) ans-=(gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1)*(i&&j?2:1);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}