poj1286

Necklace of Beads

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Description

Beads of red, blue or green colors are connected together into a circular necklace of n beads ( n < 24 ). If the repetitions that are produced by rotation around the center of the circular necklace or reflection to the axis of symmetry are all neglected, how many different forms of the necklace are there? 

Input

The input has several lines, and each line contains the input data n. 
-1 denotes the end of the input file. 

Output

The output should contain the output data: Number of different forms, in each line correspondent to the input data.

Sample Input

4
5
-1

Sample Output

21
39

Source

Xi'an 2002

译文：

项链的珠子

描述：

红色、蓝色或绿色的珠子被连接在一起，成一个圆形项链的n个珠子（n < 24）。如果重复所产生的旋转周围的圆形项链或反射轴的对称轴都被忽视，有多少不同的形式的项链有吗？

输入：

输入有若干行，每行包含输入数据， - 1表示输入文件的结束。

输出：

应包含输出数据：不同形式的数，在每行对应于输入数据。

样例输入：

4

5

-1

样例输出：

21

39

 

题解：

虽然是裸的Pólya定理，但属于组合数学的内容，还是少不了自我扫盲。Pólya定理的基础Burnside引理是求解互异的组合状态的个数的方法：

据说该定理的应用比较麻烦，染色问题常用Pólya定理：

其中G={a1 ,…ag}   c(ai )为置换gi的循环节数(i=1…s)。

对应题目的翻转问题，分奇偶讨论。

奇数时，如题图右，对称轴是一个珠子到圆心的连线，一共n条。选定对称轴后，对称轴上的一个珠子构成一个循环，其他n-1个珠子分别以对称轴对称构成(n-1)/2个循环，所以循环节的个数是 1 + (n – 1) / 2 = (n + 1) / 2 。

偶数时，如题图左，对称轴可能是两个珠子的连线，一共 n / 2条。选定对称轴后，对称轴上的两个珠子构成两个循环，其他n-2个珠子分别以对称轴对称构成(n-2)/2个循环；对称轴还可能是两个珠子的中点和圆心的连线，所有珠子两两对称，构成n / 2 个循环。 

对应题目的旋转问题，直接套用现成结论。

一共n个置换，第i个置换的循环节的个数为gcd(n, i)。证明详见《挑战程序设计竞赛(第2版)》P302：

有了循环节，接下来只要将循环节数c作为幂求mc即可。值得注意的是，同时考虑了旋转和翻转后，置换群的个数应当是2n。

AC代码：（数据太水了，不用任何优化也能A）

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n)==1){
		if(n==-1) break;
		if(!n){puts("0");continue;}
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) ans+=pow(3.0,__gcd(n,i));
		if(n&1) printf("%lld
",(ans+(ll)pow(3.0,1+n/2)*n)/(n*2));
		else printf("%lld
",(ans+(ll)pow(3.0,n/2)*(n/2)+(ll)pow(3.0,2+(n-2)/2)*(n/2))/(n*2));
	}
	return 0;
}

　　

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 Polya定理：    
　　L=1/|G|*(m^c(p1)+m^c(p2)+...+m^c(pk))

　　G为置换群大小

　　m为颜色数量

　　c（pi）表示第i个置换的循环节数

　　如置换（123）（45）（6）其循环节数为3