BZOJ1999 树网的核[数据加强版]

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离： d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即。任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

题意简述：

树上的任两点间都有唯一路径。定义某一点到树上某一路径的距离为该点到路径上所有点的路径长度中的最小值。

定义树中某条路径的“偏心距”为所有其它点到此路径的距离的最大值。定义树的直径为树的最长路径（可能不唯一）。给出一个有N个节点的无根树，请找出某个直径上的一段长度不超过S的路径（可能退化为一个点），使它的偏心距最小。请输出这个最小偏心距的值。

题目已经告诉你如下定理：树的所有直径的中点必然重合（这个中点可能在某条边上）。

算法简述：

这道题描述很复杂，考场上相对于NOIP级别有一定难度，主要是让人很蒙，很难有模板可以套用，所以唯一的方法就是按照题目中说的硬搞。

题目中给我们的条件只有几个定义。我们注意到关于“偏心距”的定义：是树的所有点中距“核”的距离最长的一个。而关于“核”的定义为：树的直径上的某一段。抓住这两个定义，我们就有了解题的方向。

第一步自然是找直径。我们实在是很想用Floyd来求直径，但N=300的范围在那里摆着，迫使我们要寻求更快的方法。我们注意到直径的一个性质：

对于直径中的任意一点，其距离树中其他点的最远距离不超过该点到达直径端点的距离。这是个显而易见的性质。由这个性质，我们可以导出如下引理：

对于树中的任意一点，距离其最远的点一定是树的直径的某一端点。

用同样的方法，我们很容易找到另一个端点，也就求出了直径。现在的问题是：直径可能有很多条，究竟取哪一条呢？其实任意一条都是可行的。我们做如下的说明：

首先，题目中告诉我们树的所有直径的中点必然重合，也就是告诉我们：所有的直径都是相交的。从而对于任意两条不同的直径，我们可以找到一个分叉点，我们记分叉部分的长度为L1，直径总长减去L1的长度记为L2。假设这个“核”没有经过分叉点，那么两种情况：

1、在公共部分，其最小“偏心距”一定不大于L2；

2、在分叉部分，其最小“偏心距”一定不小于L2。

假设这个“核”经过分叉点，那么其最小偏心距至少是L1。所以很明显，其最小“偏心距”所对应的“核”必然有一部分出现在所有直径的公共部分，而对于不完全在公共部分的“核”，其“偏心距”拥有同样的下界L1，也不会影响到最终结果。

第二步就是枚举所有可能的“核”。对于任意一个“核”，我们只要记录它在直径中的左右端点就能确定这个“核”。这似乎有O(N2)级别种“核”，但由于对“核”的长度限制，实际数量级别大概只达到O(N)。

最后一步就是计算树中所有点到“核”的距离，然后取最大值。很明显，这个距离就是该点与从该点起做DFS遍历所遍历到的第一个直径上的点之间的距离。而我们所关心的只有那个最远距离，所以我们在实现的时候将其反过来做，我们寻找以“核”中的点为根的子树的最大深度（这个子树与直径不相交）。根据定义，这所有子树的最大深度中的最大值就是该“核”的“偏心距”。这里有一个小优化，即对于任意一个“核”的端点，其最大子树深度就是该点到达相应的直径端点的距离。

其实上面这么多，就两句话

1. 找出最长链

2. 随便用一个数据结构，维护链上的两个端点l,r，用子树中的最长链更新答案

AC代码：

（跑的有点慢）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
inline const int read(){
    register int x=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=5e5+100;
int dis[N],f[N];
bool vis[N];
vector<pair<int,int> >b[N];
void dfs(int x){
    for(int i=0;i<b[x].size();i++){
        int nx=b[x][i].first;
        if(vis[nx]||nx==f[x]) continue;
        f[nx]=x;
        dis[nx]=dis[x]+b[x][i].second;
        dfs(nx);
    }
}
int main(){
    int n=read(),s=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        b[u].push_back(make_pair(v,w));
        b[v].push_back(make_pair(u,w));
    }
    int l=1,l2=1;
    dis[l]=0;dfs(l);
    memset(f,0,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[l]) l=i;
    dis[l]=0;dfs(l);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(dis[i]>dis[l2]) l2=i;
    int ans=0x7fffffff,j=l2;
    for(int i=l2;i;i=f[i]){
        while(f[j]&&dis[i]-dis[f[j]]<=s) j=f[j];
        ans=min(ans,max(dis[j],dis[l2]-dis[i]));
    }
    for(int i=l2;i;i=f[i]) vis[i]=1;
    for(int i=l2;i;i=f[i]) dis[i]=0,dfs(i);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dis[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

树形dp找树的直径

void dfs(int u,int fa){
    int mx = 0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v = e[i].to;
        int w = e[i].w;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        ans = max(ans,dp[v]+mx+w);
        mx = max(mx,dp[v]+w);
    }
    dp[u] = mx;
}

BZOJ1999 树网的核[数据加强版]

1999: [Noip2007]Core树网的核

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