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  • 欧拉函数基础

    1.欧拉函数是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。

    2.通式:φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。

    3.对于质数p,φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

    4.欧拉定理:对于互质的正整数a和n,有a^φ(n) ≡ 1 mod n。

    5.欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    6.若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外 ,其他数都跟n互质。

    7.特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)

    8.欧拉函数还有这样的性质:

    设a为N的质因数,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) *a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

    【普通欧拉函数】

    int phi(int p){
        int phi=p;
        for(int i=2;i*i<=p;i++){
            if(!(p%i)){
                phi=phi-phi/i;
                while(!(p%i)) p/=i;
            }
        }
        if(p>1) phi=phi-phi/p;
        return phi;
    }

    【快速欧拉函数】

    void prepare(){
        phi[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(!check[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
            for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
                check[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            }
        }
    }
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