复变函数-复习笔记

第一章:

　　复数的模，三角表示法，指数表示法，求根与求幂，平面映射

　　复数为x + yi

　　复数的模为 sqrt(x² + y²)

　　复数的三角表达式为 sqrt(x² + y²)(cosθ + sinθ * i)

　　复数的指数表达式为 sqrt(x² + y²)e^iθ

　　求复数的n次幂可使用指数表达式简化计算

　　求复数的i次根号可使用sqrt(x² + y²)e^{iθ + 2kπ}的i次根号求得， 一共有i个解 k = 0,1,2,,,,,,i-1

　　平面映射  w  = 1/z  

　　设w = u + i*v   z = x + y*i

　　带入w = 1/z可得 x = u/(u² + v²)   y = -v/(u² + v²) 

　　带入z平面中的方程即可得到w平面上对应的方程

第二章:

　　可导性，解析性，初等函数的化简

　　可导:从各个方向趋近于点p的导数相同即点p可导

　　可微:同一元函数

　　解析:在p和p的邻域内处处可导

　　

　　

　　可导的充要条件:

　　　　f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)

　　　　u,v在定义域点x+iy可微且满足柯西黎曼方程

　　　　柯西黎曼方程:　∂u / ∂x = ∂v / ∂y       ∂u / ∂y = -∂v / ∂x

　　

　　解析的充要条件:

　　　　f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)

　　　　u,v在定义域D内处处可微且满足柯西黎曼方程

　　　　柯西黎曼方程:　∂u / ∂x = ∂v / ∂y       ∂u / ∂y = -∂v / ∂x

　　区别在于一个是点，一个是定义域

　　初等函数

　　　　大部分初等函数服从实数域上初等函数的性质

　　　　z = x + i*y

　　　　e^z = e^x(cosy  + i siny)

　　　　e^{z + 2kπi} = e^z

　　　　Lnz = ln(|z|) + i Argz

　　　　因为角度又可以加2kπ

　　　　所以定义主值为  ln(|z|) + i argz

　　　　chZ = (e^z + e^-z ) / 2

　　　　shZ = (e^z - e^-z ) / 2 

　　　　thZ = (e^z - e^-z ) / (e^z + e^-z )

　　　　chZ' = shZ

　　　　shZ' = chZ

　　　　cos(Z) =  (e^zi + e^-zi ) / 2　　　　

　　　　sin(Z) = (e^zi - e^{-z i}) / 2 

　　　　a^b = e^blna

第三章

　　积分的定义同实数域上的相同，但与实数域不同的是，面积不一定是实数，有可能是虚数

　　当f(z)解析时，积分为0，不解析时，使用如下解法

　　积分的计算方法1:

　　　　按照积分曲线，将x，y用t表示，将i当成常数提出来，然后就是普通的积分了，要注意的是，dz也要相应的转化为dt

　　

　　柯西古萨基本定理:

　　若f(z)在单通区域内处处解析，那么f(z)沿B内的任何一条封闭曲线C的积分为0　　　

　　复合闭路定理:

　　设C为多联通区域D的一条简单闭曲线，C1，，，，，Cn是在C内部的简单闭曲线，他们不包含也互补相交

　　并且C，C1，，，，，Cn为边界的区域全含与D，如果f(z)在D那么

　　∫f(z)dz 在C上的积分=在C1，，，，，Cn上积分的和

　　

　　∫ 1 / (z-z₀)  dz = 2πi   

　　∫ 1 / (z-z₀)ⁿ  dz = 0   n>=2 

　　积分的计算方法2:

　　　　求积分时将导致函数不解析的点提取出来

　　　　将积分区域分割成一部分一部分的小块，每一小块包含一个不解析点　　　　

　　　　将函数转化为 1/(z - z₀)的形式即可求得积分

　　　　

　　积分的计算方法3:

　　　　f(z₀) = 1 /  2πi    * ∫  f(z) / (z-z₀) dz

　　　　fⁿ(z₀) = n! /  2πi    * ∫  f(z) / (z-z₀)ⁿ⁺¹ dz

　　由已知的调和函数求解析函数

　　　　函数是调和函数的充要条件：

　　　　　　α²Φ / αx² + α²Φ / αy² = 0

　　　　若函数f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y)中的u， v满足柯西黎曼方程

　　　　则称u，v为共轭调和函数

 

 第四章

　　判断级数是否收敛

　　1.分别判断实部和虚部是否收敛，若均收敛则级数收敛

　　2.将级数用e来表达，若收敛，则级数收敛 参见P142 1.2

　　判断是否收敛

　　把级数分为两个部分，每个部分都要满足收敛条件

　　a_n+1 / a_{n < 1}

　　_n√￣a_n < 1 

　　满足这两个条件即收敛

　　绝对收敛性

　　判断n->∞|a_n|是否收敛

　　要记住Σ 1/n发散

　　幂级数的收敛半径

　　幂级数为 Σai*zⁱ

　　那么收敛半径为 1/lim_nΓ|a_n|

　　　

　　若lim|c_n+1 / c_n|为常数u

　　则收敛半径 为 1/u

　　函数的幂级数展开

　　常见幂级数展开有 1 / (1 - z) = 1 + z + z² + ......+ zⁿ

　　对于一个函数我要想办法把他转变为1 / (1 - f(z)) 这样我的幂级数展开就可以写为

　　在转化过程时

　　对于原函数g(z)

　　我找到距离展开点最近的奇点

　　在这个范围内画圆

　　在我对函数进行变形的过程时

　　保证在这个范围内，函数一直是解析的即可

　　

　　1 / (1 - f(z)) = 1 + f(z) + f²(z) + ....... + fⁿ(z)

　　

　　若要求在z₀处展开

　　则要将函数转化为 1 / (1 - f(z - z₀))

　　

　　对于负高次函数，可通过 1 / (1 - f(z - z₀))求导的方式来获得泰勒展开式

　　洛朗级数

　　若f(z)在z₀处不解析，那就不能使用幂级数展开了

　　这个时候就可以使用洛朗级数展开

　　对于给定圆环域

　　我先将函数展开成f(z) = Σ g(z) * 1 / (1 - c(z))  的形式

　　要求c(z) 在给定圆环域内 n ->∞时 c(z)ⁿ必须收敛

　　然后再按照幂级数展开的方式去做即可

　　 

　　

 第五章

　　奇点，极点

　　若f(z) 在z₀处不解析 则z₀为f(z)的奇点

　　若lim _{z -> z0} f(z) 为常数，则z₀为f(z)的可去奇点

　　若lim _{z -> z0} f(z) = ∞，则z₀为f(z)的极点

　　若lim _{z -> z0} f(z) = 不存在，则z₀为f(z)的本性奇点

　　

　　对于极点来说，若z₀重复出现n次，则z₀为n级极点

　　若f(z) = P(z) / Q(z)

　　那么 z₀是Q(Z)的n级0点，是P(z)的m级0点

　　那么z₀是f(z)的n - m级极点　

　　留数

　　若z₀为f(z)的一级奇点

　　Res(f(z), z₀) =  lim _z->z0  (z - z0) *f(z) 　　

　　

　　若z₀为f(z)的m级奇点

　　Res(f(z), z₀) =  lim _z->z0  1/(m-1)!   * (  d^m-1(z-z₀)^m f(z)  )   /　dz^m-1

　　

　　

　　若f(z) = P(z) / Q(z)

　　若z0为一级极点

　　那么Res(f(z), z₀) =  lim _z->z0  P(z) / Q'(z)

　　对于f(z)其在复平面上所有留数的和为0，若圆周内留数过多，可求圆周外的留数的相反数来代替元周内的留数

　　Res(f(z), ∞) = Res(f(1/z) * 1 / z²,  0)

　　

　　留数定理

　　∫ f(z)dz = 2πi*Res(f(z), z₀)  

　　要求圆域内只有z₀一个极点

　　

　　求定积分

　　sinθ = (z² - 1 )/ 2iz

　　cosθ = (z² + 1 )/ 2z

　　dθ = dz / iz