（0-1）背包问题

1、0-1 背包问题

• 一个小偷在洗劫一家商店时找到了n个物品：其中第 i 个物品价值v_i并且重w_i (v_i, w_i都是整数)
• 小偷的背包只能承受W的重量
• 物品要么被带走要么留下
• 带哪些物品可以在指定的重量下达到价值最大呢?

2、可带碎片的背包问题

• 与上述基本相同
• 小偷可以带走一个物品的一部分

3、小偷有一个可承受 W 的背包，有n件物品： 第 i 个物品价值v_i并且重w_i 。

　　目标：找到 xi 使得对于所有的 xi = {0, 1}, i = 1, 2, .., 并且 最大。

4、最优子结构

• 考虑最多重W的物品且价值最高
• 如果我们把j物品从背包中拿出来==> 剩下的装载一定是取自n-1个物品使得不超过载重量W – wj并且所装物品价值最高的装载

5、0-1 背包问题的动态规划

　　V[i, w] ：考虑前i件物品所能获得的最高价值，其中 w 是背包的承受力

• 　　 第1种情况：物品 i 的重量 w_i<=w，小偷对物品 i 可拿或者不拿

　　　　V[i,w] = max{V[i-1, w], V[i-1,w-wi] + vi}

• 　　 第2种情况：物品i的重量 w_i>w，即小偷不拿物品 i

　　　　V[i, w] = V[i - 1, w]

构造最优解法：

子问题的重复：

6、算法过程

 

【应用】最小邮票数问题：

https://www.nowcoder.com/questionTerminal/83800ae3292b4256b7349ded5f178dd1