线性代数系列之二 有限维向量空间（一）

在线性代数第二节开始之前，有一些感悟要先分享一下。最近线代专栏第二节之所以拖了这么久，一方面时生活方面有所懈怠，一方面是发现要想真正搞好一门学问，必须要热爱这门学问。最明显的例子就是当我们在学习数学的时候，如果仅仅是为了使用公式，那大可不必来探究数学，只需要查一查公式，然后知道公式的运用场景就好了。但是既然踏入了这个学科，就是不仅要知其然，还要知其所以然。如果没有对于学科的热爱，是很难支撑下去的。比如对于一个简单的定理证明，是需要严谨的数学思维的。但是大多数时候我们都是看一看定理就过了，没去探究定理怎么推出来的，此时我们已经丢掉了学习数学最重要的东西——严谨的数学思想。比如今天我知道了这个定理，那么我能否活用这个定理呢？这个定理会不会有什么变种呢？这种问题如果深入证明研究，就会触类旁通，一方面加强了自己的数学思维，一方面加深了自己对定理的理解与记忆。但是这一切都是建立在对数学的热爱上的，否则你无法坚持下去。

也是这段时间的空档，让我有了反思。之前学习数学太过于快餐式了，捡了芝麻丢了西瓜，虽然不是从事数学这个行业，但是对于数学的热爱是从小就有的，但是不知道何时，把自己热爱的东西慢慢的遗忘了。

回顾我们上一节的几个符号：F代表任意域，R代表实数，C代表复数，V表示F上的向量空间。

OK，开始这章的学习——有限维向量空间

向量组：

　　我们把诸如（1，2，3），（4，5，6）多个向量用逗号组合起来的形式称为向量组。

线性组合：

　　V中的一组向量v1,v2,v3...vm的线性组合形式如下：

　　　　

,　　　　其中v1,v2,v3...vm∈F。

张成空间：

　　V中一组向量v1,...vm的所有线性组合所构成的集合称为v1,...vm的张成空间，记为span(v1,...vm),即：

　　

 　　空向量组的张成空间定义为{0}.我们称v1,...vm张成V.

　　张成空间最浅显的例子就是我们的三维空间是被xyz三个轴向量张成的。即三维空间中所有的向量都可以用xyz三个轴向量的线性组合表示。

　　V中一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间。

　　看到这个定理，我们就要回顾一下什么是子空间：如果V的子集U也是向量空间，则称U是V的子空间。

　　那么接着回顾，什么是向量空间呢？向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V。

　　也就是说，V中一组向量的张成空间是一个向量空间，怎样的向量空间呢？包含这些向量所有加法和标量乘法所得到的向量的一个最小集合。从这里我们能看出，张成空间的定义和向量空间的定义似乎非常的相似。之所以相似是因为张成空间也是一个向量空间，所以向量空间满足的条件，张成空间也满足，但是张成空间是一个特殊的向量空间，特殊性就体现在最小二字上。举个浅显的例子，我用xy轴向量可以张成出在一个平面内的所有向量的集合（即向量空间），但是我不能通过xy两个轴向量张成出任意三维的向量空间。所以最小这个词其实是对子空间的限制。

有限维向量空间：

　　如果一个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成，那么称这个向量空间是有限维向量空间。

　　怎么理解这句话呢？即如果一个向量空间是可张成的，那么就是有限维的。那么在这里也可以给出无限维向量空间的定义：一个向量空间如果不是有限维的，则称为无限维的。

　　目前对于有限维向量空间是这样定义的，为什么可张成的才是有限维的呢？无限维向量不可张成吗？对于这个疑问，有兴趣的童鞋可以更加深入学习一下无限维向量空间，线性代数主要针对的是有限维空间，所以这里不做赘述。

多项式：

　　对于函数p:F->F,若存在a₀,...a_m∈F使得对于z∈F均有(如果有忘记的小伙伴提醒一下->这个符号代表映射关系，高中知识)

　　

 　　则称p为系数属于F的多项式（其实就是中学学习的多项式）

　　P(F)是系数属于F的所有多项式组成的集合。这里注意一下，这个P(F)就是一个无限维的向量空间，为什么呢？请尝试自己思考。

　　多项式的次数：对于多项式p∈P(F)，若存在标量a₀,a₁,...,a_m∈F，a_m≠0，使得对任意z∈F有

　　

　　则说p的次数是m，记作deg p = m.

　　恒等于0的多项式次数为-∞

　　p_m（F）定义为最高次数为m的所有多项式构成的集合。

线性无关：

　　若线性组合a₁v₁+...+a_mv_m=0成立只有当a₁=...=a_m=0时，称v₁,...v_m这组向量线性无关，这个向量组称线性无关组。（规定空组是线性无关的）

　　举个最简单的例子，向量组（0，1），（1，0）的两个向量若想k1*(0,1) + k2*(1,0) = 0 ,只有当k1=k2=0时才成立，则这个向量组就是一个线性无关组的例子。

线性相关：

　　如果一组向量不是线性无关的，那么就是线性相关的。即若线性组合a₁v₁+...+a_mv_m=0成立a₁=...=a_m=0不是唯一情况时，这个向量组时线性相关的，这个向量组称线性相关组。

　　还是举例子，向量组（1，0），（2，0）的两个向量如果有k1*(1,0)+k2*(2,0) = 0,则k1和k2有非常多的取值可以满足，那么这个向量组就是一个线性相关组的例子。

　　这里提一个问题自己算一下加深印象：F3中的向量组（2，3，1），（1，-1，2），（7，3，c）如果线性相关，c的值是多少？

　　设v₁...v_m是V中的一个线性相关的向量组，有j∈{1，2，...，m},a_j≠0，那么就会有以下线性相关引理：

　　1.

 　　2.若从v₁,...v_m中去掉第j项，则剩余的张成空间等于span(v₁,...v_m).

　　这两个引理如何理解呢？意思就是当一个线性相关的向量组任意去掉一个向量，剩下的向量张成的空间和原向量组张成的空间是一个空间。如何证明？

　　首先如果向量组满足线性相关，则必有a₁v₁+...+a_mv_m=0的a_m的解不是唯一的0，那么随机取出一个系数不为0的向量a_jv_j，取系数a_j，则有

　　　　v_j  = -a₁v₁/a_j-...-a_mv_m/a_j，即v_j向量可以由剩余向量的线性组合所形成，那么v_j也在剩余向量的张成空间内，这就证明了上述引理。

　　那么这个证明有一个前提，随机取出系数不为0的向量a_jv_j，即上述证明的前提是a_j≠0，那么如果a_j=0会怎样呢？请自行思考，加深印象。