左右指针法：二分查找-寻找数

左右指针法：二分查找-寻找数

二分查找多用于数组和字符串之中。
二分查找原理简单但是细节很容易出错。

0.二分查找的框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。
计算 mid 时需要防止溢出，代码中left + (right - left) / 2就和(left + right) / 2的结果相同，但是有效防止了left和right太大直接相加导致溢出。

1.寻找一个数（最基本的二分查找）

搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
因为初始化right的赋值是nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)，因为索引大小为nums.length是越界的。
这个算法中使用的是前者[left, right]两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

为什么left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid或者left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left, right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，下一步应该去搜索哪里呢？当然是去搜索[left, mid-1]或者[mid+1, right]对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

此算法有什么缺陷？
比如说给你有序数组nums = [1,2,2,2,3]，target为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引 1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。这样的需求很常见，也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

2.寻找左侧边界的二分法完整代码如下：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

这里左侧边界的含义：
比如对于有序数组nums = [2,3,5,7],target = 1，算法会返回 left=0，含义是：nums中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 left=4，含义是：nums`中小于 8 的元素有 4 个。
left即表示那个index值，也表示有多少比target小，这里可能会带来索引越界的问题。

为什么该算法能够搜索左侧边界？
关键在于对于nums[mid] == target这种情况的处理：

    if (nums[mid] == target)
        right = mid;

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界right，在区间[left, mid)中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

为什么要检查出界情况：
由于 while 的退出条件是left == right + 1，所以当target比nums中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界
越界条件之中有nums[left] != target，是表示找不到这个数返回-1。

3.寻找右侧边界的二分法

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

为什么这个算法能够找到右侧边界？

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

当target比所有元素都小时，right会被减到 -1，所以需要在最后防止越界