写在前面
在计算机视觉中，滤波（filtering）是指
Image filtering: compute function of local neighborhood at each position.
—— from CAP5415–Fall 2014-Lecture 2 (08/21/2014)–Filtering
In the broadest sense of the term "filtering", the value of the filtered image at a given location is a function of the values of the input image in a small neighborhood of the same location.
滤波本质上是一种特殊的函数，其作用在图像的每个位置，通过定义的计算方式得到输出，输出的值用于替换图像当前位置（滤波器中心）的值。
令滤波函数为(g(x; w)) ，其中(x)为图像的局部邻域，(w)为滤波器的权重，滤波器可以分成如下3类，
- 线性滤波器（Linear filter）：线性滤波的输出为输入的线性组合，即(g = w cdot x)，线性滤波器最为常见；
- 非线性滤波器（Non-Linear Filter）：不满足上条性质的为非线性滤波，典型的非线性滤波如最大值/最小值/中值滤波、膨胀/腐蚀等；
- 自适应滤波器（Adaptive filter）：线性滤波中的(w)在滑动过程中固定不变（与图像内容独立无关），自适应滤波的(w)在滑动过程中会随着窗口内像素的性质和结构发生变化。直觉上，自适应滤波器在某些复杂情况下可能取得更好的效果，但相对线性滤波器，其计算代价更高也更难优化加速。
从滤波目的或者解决的问题上，也可分成3类：
- 图像处理：并不想从图像中提取信息，只想将图像转换成期望的样子；
- 特征提取：想从图像中提取到某些信息，比如梯度、二阶导、纹理等；
- 模式检测：想知道图像局部长什么样子，像哪种模式，比如模板匹配、稀疏表示等；
这两种分类方式并不是割裂的，而是互相交叉的，用于图像处理的滤波器也有线性、非线性、自适应之分。
Padding
滤波操作不可避免的一个问题是边界如何处理，当滤波器的中心压在图像边界处时，滤波器会有一部分落在图像外，但图像外并没有像素，该如何处理？通常需要对图像进行填充（padding），填充需要解决2个问题，填充的元素取什么值以及填充多少个元素。
对于延拓元素的取值，通常有4种方式，
- 常数填充（0填充）：填充的元素取相同的常数值
- 周期填充（circular）：认为图像的上下左右被与自身相同的图像包围着
- 复制填充（replicate）：复制图像边界的元素
- 对称填充（symmetric）：填充的元素与图像关于边界对称
4种填充方式依次如下图所示，
对于填充多少个元素，通常有3种方式，令滤波器的大小为$g imes g $ ，图像大小为(f imes f) ，
- full：边界分别填充(g-1)个元素，滤波结果为((f+g-1) imes (f+g-1))，比原图大
- same：边界分别填充((g-1)/2)个元素，滤波结果为(f imes f)，与原图大小相同
- valid：边界不填充，滤波结果为((f-g+1) imes (f-g+1))，比原图小
滤波杂谈
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基本假设：局部相关性（远处无关）、局部相似（edge处不满足）、噪声随机
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静止图像的去噪，若能获得图像序列，可以在时域上滤波（均值、中值等）；单张图像在空域上滤波。
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椒盐噪声用中值滤波。椒盐噪声会随机地将像素置为黑或白，在实践中，会大幅改变像素值的噪声一般采用中值滤波都是有效的。
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非椒盐噪声，均值为0的随机噪声（高斯噪声），可通过moving average滤波。
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与图像内容耦合的噪声，可能需要依赖先验知识，采用合适的自适应滤波器，更多内容可以查看参考链接。
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平滑相当于低通、锐化相当于高通、不同平滑半径的差相当于带通。
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滤波的加速可以考虑：滤波器是否行列可分离、缓存不必要的重复计算、近似计算、SIMD等。
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差分算子对噪声敏感，所以差分前通常要先平滑。
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考虑到噪声，求梯度前通常要先（高斯）平滑再使用差分算子，sobel算子可以看成是DoG（Derivative of Gaussian）的近似，可以拆分成平滑和差分，如下所示，所以可以用sobel求梯度。
[mathbf{G}_{x}=left[egin{array}{l}{1} \ {2} \ {1}end{array} ight] *left(left[egin{array}{lll}{+1} & {0} & {-1}end{array} ight] * mathbf{A} ight) quad ext { and } quad mathbf{G}_{y}=left[egin{array}{c}{+1} \ {0} \ {-1}end{array} ight] *left(left[egin{array}{lll}{1} & {2} & {1}end{array} ight] * mathbf{A} ight) ] -
考虑到噪声，求二阶导前通常也要先（高斯）平滑再使用拉普拉斯算子，两者合在一起即LoG（Laplacian of Gaussian），即对高斯求二阶导再离散采样，通常可以用DoG（Difference of Gaussian）即两个不同size高斯核的差近似，详见Laplacian/Laplacian of Gaussian，其中Laplacian算子为
[ abla^{2} f=frac{partial^{2} f}{partial x^{2}}+frac{partial^{2} f}{partial y^{2}} ]
两种常用的2D离散近似形式如下：
- 模式检测需要根据期望探测的模式来定义filter，因为不同场景需要检测的模式不同，所以filter也多种多样。反映模式的filter可以根据领域知识来人工定义、可以通过SOM（Self Organizing Map）无监督生成、也可以像CNN那样通过数据驱动有监督学习得到。比如，模板匹配中的模板为filter，相似度函数为滤波的计算方法；稀疏表示中字典的每一列都是filter，像gabor小波字典，通过相关运算计算与每个filter的相似程度，从而知道每个图像局部“长什么样子”。