LeetCode（4）Median of Two Sorted Arrays

题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

给定两个有序序列，要求两个序列综合后的中位数。关键：算法复杂度T(n)=O(log(m+n))
该问题的关键就在于复杂度的限制，有了这个限制，就使得该题目成为一个5星级的难度。

看到题目首先想到合并两个有序序列，返回其中间数（奇数个元素）或中间两元素平均值（偶数个元素），但是该算法是O(m+n)，奇怪的是，LeetCode的测试OJ是AC的，说明其在时间复杂度的控制也是不严谨的。

真正符合对数级复杂度的算法是一种通用的求两有序序列第k小元素的算法，详细介绍参考了LeetCode（4）算法参考在此，表示对该博主的感谢。

算法思想：
该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

AC代码

//方法一，采用merge的思想，将两个有序序列合并为一个有序序列，返回其中位数。T(n)=O(n)
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        //求两个有序序列的长度
        int len1 = nums1.size(), len2 = nums2.size();

        vector<int> nums(len1 + len2);

        int i = 0, j = 0 , k=0;
        while (i < len1&&j < len2)
        {
            if (nums1[i] <= nums2[j])
            {
                nums[k++] = nums1[i];
                i++;
            }
            else{
                nums[k++] = nums2[j];
                j++;
            }
        }//while

        while (i < len1)
        {
            nums[k++] = nums1[i];
            i++;
        }//while

        while (j < len2)
        {
            nums[k++] = nums2[j];
            j++;
        }//while

        return (double)((len1 + len2) % 2 ? nums[(len1 + len2) / 2] : (nums[(len1 + len2 - 1) / 2] + nums[(len1 + len2) / 2]) / 2.0);
    }
};

//方法2：经典求第k小元素算法
class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
    {
        int total = m + n;
        if (total & 0x1)
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        else
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
            + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
    }

    double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
    {
        //always assume that m is equal or smaller than n
        if (m > n)
            return findKth(b, n, a, m, k);
        if (m == 0)
            return b[k - 1];
        if (k == 1)
            return min(a[0], b[0]);
        //divide k into two parts
        int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
        if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
            return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
        else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
            return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
        else
            return a[pa - 1];
    }
};

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