【BZOJ1477】青蛙的约会

Description

两个物体在一个周长为l的环上同方向运动， A初始时位置为a，速度为m，B初始位置为b，速度为n，求何时相遇。

Solution

根据题意，我们不难列出方程，推导如下

$a+mt equiv {b+nt} pmod l$

$(m-n)t equiv {b-a} pmod l$

$(m-n)t+kl=b-a$

最终我们得到了一个线性模方程，可以用Exgcd求解。

根据裴蜀定理，该方程有整数解，当且仅当(b-a)%t=0，因此我们可以判断问题是否有解。

最终Exgcd求出的答案可能为负数，我们将它加上若干l即可

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1; 
        y = 0;
        return a;
    }
    ll gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll x2 = x;
    ll y2 = y;
    x = y2;
    y = x2 - (a / b) * y2;
    return gcd;
}
inline ll read() {
    ll ret = 0, op = 1;
    char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {
        if (c == '-') op = -1; 
        c = getchar();
    }
    while (isdigit(c)) {
        ret = ret * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return ret * op;
}
int main() {
    ll a, b, m, n, l;
    a = read(); b = read(); m = read(); n = read(); l = read();
    ll aa = m - n;
    ll bb = l;
    ll retx, rety;
    ll ret = exgcd(aa, bb, retx, rety);
    if ((b - a) % ret != 0) puts("Impossible"); 
    else {
        ll ans = (b - a) / ret * retx;
        while (ans < 0) ans += l;
        printf("%lld
", ans % l);
    }
    return 0;
}