组合数

从n个元素里取出m个，记C(n,m); 原始公式：C(n,m) = n! / ( m!*(n-m)! )

在编程里，初中高中的阶乘公式已经不太管用了,数据一下子就爆。

 

公式1：C(n,m) = (n-m+1) * C(n,m-1) / m

用数组存放，从C(n,0)开始存到C(n,m),数组下标表示m的值

POJ2249

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[9999999];

int main()///裸题，单纯套公式
{
    long long n,k,i;
    while(cin>>n>>k&&(n+k))
    {
        a[0]=1;
        if(k>n-k)
            k=n-k;
        for(i=1;i<=k;i++)
            a[i]=(n-i+1)*a[i-1]/i;
        cout<<a[k]<<endl;
    }
    return 0;
}

公式2：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)

计算较大的组合数，用二维数组存放各个组合数的大小

POJ1306

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long c[101][101];

int main()
{
    for(int i=1;i<101;i++)
    {
        c[i][0]=c[0][i]=1;
        c[i][i]=1;          //不用担心下面n和k相等没法进入循环的情况
    }
    for(int n=1;n<101;n++)
        for(int k=1;k<n;k++)//一直是k<=n；不过等于的情况解决了
        c[n][k]=c[n-1][k]+c[n-1][k-1];
    int n,k;
    while(cin>>n>>k&&(n+k))
    {
        printf("%d things taken %d at a time is %d exactly.\n",n,k,c[n][k]);
    }
    return 0;
}

数据更大，需要求模，一般用鲁卡斯定理：

C(n,m)%p p为素数

总有：m = t*p + rn = s*p + q →

C(n,m)%p = C(s,t)%p * C(q,r)%p →

C(n,m)%p = C(n/p,m/p)%p * C(n%p,m%p)%p

hdu3037

思路：由于树上可以不放豆，C(n+m,m)。数据太大，需要很多防爆措施，快速幂，逆元，阶乘，鲁卡斯定理。

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

ll n, m, p;
ll fac[1000000+10]={1,1};   ///0和1的阶乘为1

void getfac()               ///打印阶乘表
{
    for(ll i=1;i<=p;i++)    ///每次打到p就好
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}

ll power(ll a,ll b,ll p)    ///大数据逆元计算又需要快速幂
{   ///a的b次方对p求模
    ll ans=1;
    while(b>0)
    {
        if(b%2==1)
            ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans%p;
}


ll C(ll n, ll m ,ll p)
{   ///C(n,m) = n! / ( m!*(n-m)! )
    ///数据太大肯定爆，p又是素数。换成求m!*(n-m)!的逆元，又不能一起求，会爆数据，分开求，看做n!/m! * 1/(n-m)!
    ///由于是对p求模，n，m范围在阶乘表范围里
    if(m>n)
        return 0;
    return fac[n]%p * power(fac[m], p-2, p) * power(fac[n-m], p-2, p) % p;
}

ll lucase(ll n, ll m )
{
    if(m==0)
        return 1;
    else
        return C(n%p, m%p, p)* lucase(n/p,m/p)%p;/// (n/p),(m/p)不一定比p小，继续用鲁卡斯
}


int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        getfac();
        cout<<lucase(n+m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}