背包问题

背包问题有好多种，那些名称也记得不太清，随便称呼吧，会做题就行，先试试4种常见的背包问题。

题目1：普通的背包问题（0-1背包）

有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

Input:

输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W（1<=n<=10000,1<=W<=1000）
，接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi（1<=Wi<=10000,1<=Vi<=100）。

Output:

输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。

Sample Input:

3 4
1 2
2 5
3 7

Sample Output:

9
思路：相同容量找最大值，取和不取找最大值。
AC代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[10050];
int wi[10050],vi[10050];
int main()
{ 
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        ///重量，价格
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=m;j>=wi[i];j--)
            dp[j]= max( dp[j], dp[ j-wi[i]]+vi[i]);
            printf("%d
",dp[m]);
    }
    return 0;
}

模拟过程：

/*
5个物品，背包容量10
物品下标   重量w   价格v
0           3        4
1           4        5
2           7        3
3           2        6
4           1        1

dp[0]  dp[1]  dp[2]  dp[3]  dp[4]   dp[5]


dp[6]  dp[7]  dp[8]  dp[9]  dp[10]  dp[11]

输入n=5，W=10

for(i=0;i<n;i++)
i=0;i<5；                ///  不放         放       取最大值
j=10; j>=w[0]=3; dp[10]=max( dp[10]=0; dp[10-3]+4)=4
j=9;  j>=w[0]=3; dp[9]= max( dp[9]=0; dp[9-3]+4)=4
j=8;  j>=w[0]=3; dp[8]= max( dp[8]=0; dp[8-3]+4)=4
j=7;  j>=w[0]=3; dp[7]= max( dp[7]=0; dp[7-3]+4)=4
j=6;  j>=w[0]=3; dp[6]= max( dp[6]=0; dp[6-3]+4)=4
j=5;  j>=w[0]=3; dp[5]= max( dp[5]=0; dp[5-3]+4)=4
j=4;  j>=w[0]=3; dp[4]= max( dp[4]=0; dp[4-3]+4)=4
j=3;  j>=w[0]=3; dp[3]= max( dp[3]=0; dp[3-3]+4)=4


i=1;i<5;
j=10; j>=w[1]=4; dp[10]=max( dp[10]=4; dp[10-4]=4+5)=9///给出10容量，不放和放取最大值
j=9;  j>=w[1]=4; dp[9]=max ( dp[9]=4; dp[9-4]=4+5)=9
j=8;  j>=w[1]=4; dp[8]=max ( dp[8]=4; dp[8-4]=4+5)=9
j=7;  j>=w[1]=4; dp[7]=max ( dp[7]=4; dp[7-4]=4+5)=9
j=6;  j>=w[1]=4; dp[6]=max ( dp[6]=4; dp[6-4]=0+5)=5///给出6容量，第一第二物品二选一，价格取最大值
j=5;  j>=w[1]=4; dp[5]=max ( dp[5]=4; dp[5-4]=0+5)=5
j=4;  j>=w[1]=4; dp[4]=max ( dp[4]=4; dp[4-4]=0+5)=5

i=2;i<5;///只要放得下，都找到最优解，如果放不下，不会更新记录
j=10; j>=w[2]=7; dp[10]=max( dp[10]=9; dp[10-7]=4+3)=9///一个是之前的放入12物品的最优解，比放入第三个物品价格还高
j=9;  j>=w[2]=7; dp[9]=max ( dp[9]=9; dp[9-7]=0+3)=9///第二个物品7的重量，给出9容量的背包，只能放下第二个物品，价格明显不划算
j=8;  j>=w[2]=7; dp[8]=max ( dp[8]=9; dp[8-7]=0+3)=9
j=7;  j>=w[2]=7; dp[7]=max ( dp[7]=9; dp[7-7]=0+3)=9

i=3;i<5;                       
j=10; j>=w[3]=2; dp[10]=max( dp[10]=9; dp[10-2]=9+6)=15///放3个物品价格最高
j=9;  j>=w[3]=2; dp[9]= max( dp[9]=9; dp[9-2]=9+6)=15
j=8;  j>=w[3]=2; dp[8]= max( dp[8]=9; dp[8-2]=5+6)=11///给出8容量背包，放2、4物品最优
j=7;  j>=w[3]=2; dp[7]= max( dp[7]=9; dp[7-2]=5+6)=11
j=6;  j>=w[3]=2; dp[6]= max( dp[6]=5; dp[6-2]=5+6)=11
j=5;  j>=w[3]=2; dp[5]= max( dp[5]=5; dp[5-2]=4+6)=10///给出5容量背包，放1、4物品最优
j=4;  j>=w[3]=2; dp[4]= max( dp[4]=5; dp[4-2]=0+6)=6///以下除了放4物品，其他都放不下
j=3;  j>=w[3]=2; dp[4]= max( dp[3]=4; dp[4-2]=0+6)=6
j=2;  j>=w[3]=2; dp[4]= max( dp[2]=0; dp[2-2]=0+6)=6

i=4;i<5;
j=10; j>=w[4]=1; dp[10]=max( dp[10]=15; dp[10-1]=15+1)=16;
j=9;  j>=w[4]=1; dp[9]= max( dp[9]=15;  dp[9-1]=11+1)=15;
j=8;  j>=w[4]=1; dp[8]= max( dp[8]=11;  dp[8-1]=11+1)=12;
j=7;  j>=w[4]=1; dp[7]= max( dp[7]=11;  dp[7-1]=11+1)=12;
j=6;  j>=w[4]=1; dp[6]= max( dp[6]=11;  dp[6-1]=11+1)=12;
j=5;  j>=w[4]=1; dp[5]= max( dp[5]=10;  dp[5-1]=10+1)=11;
j=4;  j>=w[4]=1; dp[4]= max( dp[4]=6;   dp[4-1]=6+1)=7;
j=3;  j>=w[4]=1; dp[3]= max( dp[3]=6;   dp[3-1]=6+1)=7;
j=2;  j>=w[4]=1; dp[2]= max( dp[2]=6;   dp[2-1]=0+1)=6;
j=1;  j>=w[4]=1; dp[1]= max( dp[1]=6;   dp[1-1]=0+1)=1;
*/

题目2：总和恰好是背包重量的问题，完全背包？

有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量刚好为 W 的物品
，求所有方案中价值总和的最大值。

Input:

输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W（1<=n<=10000,1<=W<=1000）
，接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi（1<=Wi<=10000,1<=Vi<=100）。

Output:

输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。若不存在刚好填满的情况，输出“-1”。

Sample Input:

3 4
1 2
2 5
2 1
3 4
1 2
2 5
5 1

Sample Output:

6
-1
AC代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[10050];///下标是背包容量，
int wi[10050],vi[10050];
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dp[0]=0;
        ///重量，价格
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&wi[i],&vi[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=m;j>=wi[i];j--)///从最大重量开始找
            if(dp[ j-wi[i] ]!=-1)    ///一开始除了dp[0]外都是-1，如果j-wi[i]=0,证明把背包放满了，  
            dp[j]= max( dp[j], dp[ j-wi[i]]+vi[i]);
            printf("%d
",dp[m]);   ///最后直接输出背包重量为m的情况就行。
    }
    return 0;
}

模拟过程：

5个物品，背包容量10
物品下标   重量w   价格v
0           3        4
1           4        5
2           3        3
3           2        6
4           2        4
{
memset(dp,-1,sizeof(dp));

for
i=0;i<n;i++
for从m到小找到能放满的情况即j-wi[0]=0的情况
...
dp[3]=max(dp[3]=-1,dp[3-3]+4=0+4=4)=4;  //放入3重量后的最大价格

i=1;i<n;
找到j-wi[1]=0或3的情况
...
dp[7]=max(dp[7]=-1,dp[7-4]+5=4+5=9)=9;  //放入7重量后的最大价格，目前是第一和第二物品的总价格
...
dp[4]=max(dp[4]=-1,dp[4-4]+5=0+5=5)=5;  //放入3重量后的最大价格

i=2;i<n;
找到j-wi[2]=0或3或7或4的情况
dp[10]=max(dp[10]=-1,dp[10-7]+3=9+3=12)=12; ///放入10重量后的最大价格，目前是前三个物品的总价格
...
dp[7]=max(dp[7]=9,dp[7-3]=5+3=8)=9;///放入7重量后的最大价格，第一物品+第二物品vs第一物品+第三物品，明显前者价格大
dp[6]=max(dp[6]=-1,dp[6-3]=4+3=7)=7;/////放入6重量后的最大价格，目前是第一和第三物品的总价格
...
dp[3]=max(dp[3]=4,dp[3-3]=0+3=3)=4;///放入3重量后的最大价格，第一物品vs第三物品，明显前者价格大

i=3;i<n;
找到 dp[ j-wi[i] ]!=-1 的情况
...
dp[9]=max(dp[9]=-1,dp[9-2]=9+6=15)=15;///1+2+4
dp[8]=max(dp[8]=-1,dp[8-2]=7+6=13)=13;///1+3+4
...
dp[6]=max(dp[6]=7,dp[6-2]=5+6=11)=11;///1+3 vs 2+4 后者价格大
dp[5]=max(dp[5]=-1,dp[5-2]=4+6=10)=10;///1+4不需要和3+4比较了，之前放入三重量的最优解就是放入第一物品
...
dp[2]=max(dp[2]=-1,dp[2-2]=0+6=6)=6;///4
...

i=4;i<5;
找到 dp[ j-wi[i] ]!=-1 的情况
dp[10]=max(dp[10]=12,dp[10-2]=13+4=17)=17;    ///1+2+3 vs 1+3+5
dp[9]=max(dp[9]=15;dp[9-2]=9+4=13)=13;        ///1+2+4 vs 1+2+5
dp[8]=max(dp[8]=13;dp[8-2]=11+4=15)=15;        ///1+3+4 vs 1+3+5
dp[7]=max(dp[7]=9;dp[7-2]=10+4=14)=14;        ///1+3 vs 1+4+5
dp[6]=max(dp[6]=11;dp[6-2]=5+4=9)=11;        ///1+3 vs 2+5
dp[5]=max(dp[5]=10;dp[5-2]=4+4=8)=10;        ///1+4 vs 1+5
dp[4]=max(dp[4]=5;dp[4-2]=6+4=10)=10;        ///  2 vs 4+5
dp[2]=max(dp[2]=6;dp[2-2]=0+4=4)=6;            ///  4 vs 5

break;
}

题目3：可以取的物品有无限个，无限背包？

有 n 种（每一种有无数个）重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总

量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

Input:

输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W（1<=n<=10000,1<=W<=1000）

，接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi（1<=Wi<=10000,1<=Vi<=100）

Output:

输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。

Sample Input:

3 4
1 2
2 5
3 7
3 5
2 3
3 4
4 5

Sample Output:

10
7
AC代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

int dp[10005];
int w[10005],v[10005];///重量，价格

int main()///1133
{
    int n,m;///物品数，背包重量
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=w[i];j<=m;j++)///从物品的大小开始，只要你放得下，随便放，取最大值
            dp[j]=max(dp[j],dp[ j-w[i] ]+v[i] );
        printf("%d
",dp[m]);
    }
    return 0;
}

题目4：变相普通背包？

有 n 个重量和价值分别为Wi,Vi的物品，现从这些物品中挑选出总量不超过 W 的物品，求所有方案中价值总和的最大值。

Input:

输入包含多组测试用例，每一例的开头为两位整数 n、W;接下来有 n 行，每一行有两位整数 Wi、Vi
其中：
1<=n<=100
1<=W<=1000,000,000
1<=Wi<=10,000,000   
1<=Vi<=100。 

Output:

输出为一行，即所有方案中价值总和的最大值。

Sample Input:

4 5
2 3
1 2
3 4
2 2
4 10000000
2 3
2 2
3 3
1 2

Sample Output:

7
10
思路：用第一种方法明显爆时间，我们可以看到物品价格是比较小的，转换一下思路，相同的价格取总重量最小的物品
AC代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1111111111;
///dp下标存放价格，内容存放重量
int dp[10005];


int main()
{
    int n,m;///
    while( scanf("%d%d", &n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=0;i<10005;i++)
            dp[i]=inf;///重量巨大，取重量小的，自然就把这些筛掉
            dp[0]=0;

        int w[n],v[n];
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);///重量，价格

        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=10004;j>=v[i];j--)///最高价格 = 数量*物品单价 再多一些
            if( dp[ j-v[i] ]!=inf && dp[ j-v[i] ]+w[i]<=m )
                ///重量从0开始取，并且放下这个物品后 重量比背包重量小
            dp[j] = min( dp[j], dp[ j-v[i] ]+w[i] );
            ///相同的价格，取重量最小

        for(int j=10004; j>=0; j--)
        if( dp[j]!=inf )  ///只要重量不是无穷，那么就是有东西的，第一个撞见的就是价格最大的
        {printf("%d
",j);break;}

    }
    return 0;
}