ISAP 简介

刘汝佳的蓝书上已经给出了大部分，先给上完整代码（以草地排水为例）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>

using namespace std;
#define e edges[i]

const int Maxn=210,Maxm=210,INF=0x7f7f7f7f;
int n,m,s,t;
int d[Maxn],cur[Maxn],num[Maxn],p[Maxn];
int q[Maxn],ql,qr;

struct Edge{
    int to,cap,flow,next;
    int adv(){return cap-flow;}
}edges[Maxm*2];int tot=1,fir[Maxn];
void AddEdge(int from,int to,int cap){
    edges[++tot]=(Edge){to,cap,0,fir[from]};fir[from]=tot;
    edges[++tot]=(Edge){from,0,0,fir[to]};fir[to]=tot;
}
void init(){
    scanf("%d%d",&m,&n);s=1;t=n;
    for(int u,v,w,i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        AddEdge(u,v,w);
    }
}
void BFS(){
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=n;//这里最好不要用-1或者0x7fffffff等值，否则在统计num的时候可能会出问题 
    q[qr=(ql=0)+1]=t;d[t]=0;
    for(int x;ql<qr;){
        x=q[++ql];
        for(int i=fir[x];i;i=e.next){
            if(!e.adv()&&d[e.to]==n){//注意这里的!e.adv()，也可以写为!e.cap表示只走反向边，如果不写应该不会影响正确性，只会影响效率 
                d[e.to]=d[x]+1;
                q[++qr]=e.to;
            }
        }
    }
}
int Augment(){
    int a=INF;
    for(int x=t;x!=s;x=edges[p[x]^1].to){
        a=min(a,edges[p[x]].adv());
    }
    for(int x=t;x!=s;x=edges[p[x]^1].to){
        edges[p[x]].flow+=a;
        edges[p[x]^1].flow-=a;
    }
    return a;
}
int Maxflow(){
    memcpy(cur,fir,sizeof cur);
    BFS();
    int flow=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)num[d[i]]++;//如果d初始为-1等，访问d[-1],d[0x7fffffff]可能会导致未知错误 
    for(int x=s;d[s]<n;){
        if(x==t){
            flow+=Augment();
            x=s;
        }
        int ok=0;
        for(int&i=cur[x];i;i=e.next){
            if(e.adv()&&d[e.to]+1==d[x]){
                p[x=e.to]=i;
                ok=1;
                break;
            }
        }
        if(!ok){
            int M=n;
            cur[x]=fir[x];
            for(int i=cur[x];i;i=e.next){
                if(e.adv())M=min(M,d[e.to]+1);
            }
            if(!--num[d[x]])break;
            num[d[x]=M]++;
            if(x!=s)x=edges[p[x]^1].to;
        }
    }
    return flow;
}
int main(){
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("","w",stdout);
    
    init();
    cout<<Maxflow();
    
    return 0;
}

原始EK的效率浪费在每次都要一遍BFS，而Dinic选择多路增广来优化效率，ISAP则还是单路增广，但是只用做一次BFS。

这里的BFS是反向的，表示到汇点的距离（当然正向也没什么问题），当我们流完一条增广路，有些点的d值可能会改变，这时我们要修改这些点的d值，把他设为min{d[v]+1,(u,v)没有满流}(u是这个点)，这样的正确性是显然的。然后我们只需要每次只走距离相差为1的点就行了QuQ.

还有就是退出条件，当d[s]>=n时，显然不存在增广路了，因为每走一个点，到汇点的距离会-1,这样假设能走到汇点，那么d[t]>=1,是矛盾的。

还有，如果某个d值没有任何一个点是，那么就会出现断层，此时显然也走不到汇点，这就是所谓的gap优化？

还有个当前弧优化，就是用cur来记录当前走到哪条边了，下次不走以前的了，接着往下走。