bzoj3926: [Zjoi2015]诸神眷顾的幻想乡 对[广义后缀自动机]的一些理解

先说一下对后缀自动机的理解，主要是对构造过程的理解。

构造中，我们已经得到了前L个字符的后缀自动机，现在我们要得到L+1个字符的后缀自动机，什么需要改变呢？

首先，子串$[0,L+1)$对应的状态不存在，应当建立一个状态来表示这个串，显然，这个状态(np)的right集合是{L+1}，max=L+1。

现在新建立了一个状态，我们还有两件事要干：找出能转移到这个状态的状态，建立链接；确定这个状态的min，即找到它在parent树上的父亲。

能转移到np的状态显然都是right集合包含L的状态，即p（子串$[0,L)$所在的状态）及p的祖先。

设c = s[L+1]我们沿着p往上爬，会遇到一些没有c的转移的状态，显然此时直接将c的转移连向它即可。

如果全都没有c的转移，那么np的父亲设为root，也就是说找到了np的min，为1。

否则，现在我们到了第一个含有c的转移的状态，此时p代表红色部分的状态。

如上图，至少存在两个红色的部分，他们是相同的，且其中一个位置为L，另一个位置的下一个字符是c，（注意，红色线段以及蓝色线段的右端代表它的位置，左端代表位置减去max的地方）。设q=p->to[c]，此时我们已经可以确定np的min了，就是p->max+2，即np的父亲的max应该为p->max+1。

这样，如果是图中的绿色状态，即q->max == p->max+1我们就可以宣布，找到了p的父亲。然后令p->par = q，这样在q以及所有的祖先的right集合中插入了L+1这个位置。

如果是蓝色状态，我们不得不考虑创建一个新的节点nq使它的max为p->max+1，来作为np的父亲，所以我们令nq->max = p->max + 1, np->par = nq，这样之前提到的两个问题已经全部解决了，但是事实上我们需要在p->to[c]这个状态的right集合中插入L+1，所以我们令nq->par = q->par, q->par = nq，则nq这个状态表示right集合正是现在的p->to[c]需要的，接下来我们把p以及所有p的祖先中到q的转移全部换成nq，这也要求nq和q具有相同的转移，需要memcpy(nq->to, q->to, sizeof(nq->to));

然后再谈一下广义后缀自动机，它可以同时接受若干个串，不妨考虑一棵trie，因为所有的串都可以插在trie上。特别地，这棵trie中的节点还可能拥有相同的儿子，这样可以方便我们在线插入。

与单个字符串的后缀自动机略有区别的是，此时的right集合实际上是trie上的节点，而不是一个长度L，我们考虑按照dfs序建成了如下trie树的后缀自动机，五角星部分是正在加入的。跟之前一样，只有p以及p的祖先是我们需要考虑的。

 

这个位置要插入的串是红色部分以及它所有的后缀，跟单个串的后缀自动机不同的是，此时p可能已经有了c的转移。按照之前说的，我们有两个事情，一个是创建一个新的状态来表示红色部分的字符串，这个状态的max应该是p->max+1,并且right集合应包含五角星所在的这个节点，第二个就是找到这个新的状态的min也就是它在parent树上的父亲。不同的是，之前我们一定会新建一个节点，因为p能转移到的状态的max是不可能达到p->max+1的，但是现在有可能已经存在这样的状态，我们可以直接在这个状态的right集合中插入五角星所在的节点，并且它的父亲之前已经找好了，我们可以直接结束。如果图中的只有绿色部分和蓝色部分与红色部分相同，且他们上面的字符有一个不同，就意味着这种状态存在。

如果只有蓝色部分跟红色部分相同，那么蓝色状态的max不会是p->max+1，肯定是 > p->max + 1的，此时需要新建一个节点，而我们已经找到了这个新节点的父亲，就是p->to[c]。

这样就对应一段新的代码：

if(p->to[c]) {
	Node *q = p->to[c];
	if(q->maxl == p->maxl + 1) return q; /*q->right++*/
	Node *np = new(pis++) Node(*q);
	np->maxl = p->maxl + 1, q->par = np;
	for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = np;
	return np;
}

当然，我们可以忽视不用创建节点的情况，每次都创建一个节点，后果就是有可能它的max跟它的父亲相同，这样没有状态能转移到它，它也不表示任何一个子串，它存在的意义只是为它的祖先贡献了的right集合一个位置，当然它在parent树中还必须起一个连接作用。代码可以完全不改变。

而按照最简状态后缀自动机的定义，这种状态是不应该存在的，但是存在的话问题也不大。

另外，在一棵严格的trie树（没有相同的儿子）上按照深度建立后缀自动机是不用考虑上面的情况的，因为这种情况一定不会出现。

下面是bzoj3926 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡 的代码，作为参考。

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
using namespace std;

const int N = 100000 + 10;

namespace sam {
    struct Node {
        int maxl;
        Node *par, *to[10];

        Node() {}
        Node(int maxl) : maxl(maxl) {}
    } pool[N * 40], *pis, *root;

    void init() {
        pis = pool;
        root = new(pis++) Node(0);
    }

    Node *extend(Node *p, int c) {
        if(p->to[c]) {
            Node *q = p->to[c];
            if(q->maxl == p->maxl + 1) return q; /*q->right++*/
            Node *np = new(pis++) Node(*q);
            np->maxl = p->maxl + 1, q->par = np;
            for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = np;
            return np;
        } else {
            Node *np = new(pis++) Node(p->maxl + 1);
            for(; p && !p->to[c]; p = p->par) p->to[c] = np;
            if(!p) np->par = root;
            else {
                Node *q = p->to[c];
                if(q->maxl == p->maxl + 1) np->par = q;
                else {
                    Node *nq = new(pis++) Node(*q);
                    nq->maxl = p->maxl + 1;
                    q->par = np->par = nq;
                    for(; p && p->to[c] == q; p = p->par) p->to[c] = nq;
                }
            }
            return np;
        }
    }

    LL solve() {
        LL res = 0;
        for(Node *p = pool + 1; p != pis; ++p) {
            res += p->maxl - p->par->maxl;
        }
        return res;
    }
}

struct Edge {int to; Edge *next;} pool[N * 2], *fir[N], *pis = pool;
void AddEdge(int u, int v) {pis->to = v, pis->next = fir[u], fir[u] = pis++;}

int ch[N], deg[N];

void dfs(int u, int fa, sam::Node *p) {
    sam::Node *last = sam::extend(p, ch[u]);
    for(Edge *p = fir[u]; p; p = p->next) {
        int v = p->to;
        if(v != fa) dfs(v, u, last);
    }
}

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif

    int n; scanf("%d%*d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", ch + i);
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        AddEdge(u, v), AddEdge(v, u);
        ++deg[u], ++deg[v];
    }
    sam::init();
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(deg[i] == 1) {
        dfs(i, 0, sam::root);
    }
    cout << sam::solve() << endl;
    return 0;
}