参考文献：1. http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
2 . https://www.cnblogs.com/hadilo/p/5914302.html
一、欧几里得算法（重点是证明，对后续知识有用）
欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数
定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数
引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明：
设 r=a%b , c=gcd(a,b)
则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质
r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c
而b=yc
可知：y 与 x-py 互质
证明：
假设 y 与 x-py 不互质
设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质）
将 y 带入可得
x-pnk=mk
x=(pn+m)k
则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc
那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k
与原命题矛盾，则 y 与 x-py 互质
因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最大公约数为 c
即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
得证
当a%b=0时，gcd(a,b)=b
递归算法：
int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); }
优化：
int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }
二、扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等
引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by
证明：
当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0
当 b!=0 时，
设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2
又因 a%b=a-a/b*b
则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2
ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2
ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2
ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2
因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解
而每一组的解可根据后一组得到
所以第一组的解 x , y 必然存在
得证
根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法
先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0
再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解
不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
( 1 )exgcd 解不定方程（使用不将a与b转为互质的方法）
对于 ax+by=c 的不定方程，设 r=gcd(a,b)
当 c%r!=0 时无整数解
当 c%r=0 时，将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式
可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0
而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 *c/r 转变回去
（如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2）
则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r
通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数
证明：
将 x , y 带入方程得
ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c
ax+by=c
此等式恒成立
得证
这里 b/r 与 a/r 为最小的系数，所以求得的解是最多最全面的
证明：
为了推出证明中的 ax+by=c ，且想达到更小的系数，只能将 b/r 与 a/r 同除以一个数 s
而 b/r 与 a/r 互质，且 s 为整数，则 s=1 ，不影响通解
那么 b/r 与 a/r 就为最小的系数
得证
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; int k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 return true; }
附加一道题的代码：
#include<stdio.h> int a,b,c,x,y; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(!b) { x=1; y=0; return a; } int e=exgcd(b,a%b,x,y); int temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return e; } int main() { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); int k=exgcd(a,b,x,y); if(c%k) printf("Impossible "); else { k=c/k; x*=k; y*=k; printf("x=%d,y=%d ",x,y); } return 0; }
解出来的解后可以转化为最小整数解：
x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整数解）；
套用exgcd模板求得的是一组特殊解，但其实这一个方程式是有一个解系，在很多问题中是要你求得最小整数解，下面我们就解决这个问题，在阅读过很多博客加上自己的理解总结了两种方法（其实差距不大）
1、a*x+b*y=gcd（a，b）
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return;
}
int x1,y1;
exgcd(b,a%b,x1,y1);
x=y1;
y=x1-(a/b)*y1;
}
x=(x%b+b)%b;（求出的就是最小正整数解）
2.可以说这是求最小正整数的模板
LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; } LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; LL b_=b/gcd; x=(x*(c/gcd)%b_)%b_+b_)%b_; return x; }
这两种本质上没啥区别，只是在一些问题中a，b等系数可能为负，第一种需要预处理，而第二种则可以直接用
附上学习代码处：https://blog.csdn.net/tianyuhang123/article/details/52102686
还会往下拓展。。。。尽情期待！