BZOJ1016: [JSOI2008]最小生成树计数

首先一定要清楚以下定理，一个无向图所有的最小生成树中某种权值的边的数目均相同。

引用一篇大牛的证明：

我们证明以下定理：一个无向图所有的最小生成树中某种权值的边的数目均相同。

开始时，每个点单独构成一个集合。

首先只考虑权值最小的边，将它们全部添加进图中，并去掉环，由于是全部尝试添加，那么只要是用这种权值的边能够连通的点，最终就一定能在一个集合中。

那么不管添加的是哪些边，最终形成的集合数都是一定的，且集合的划分情况一定相同。那么真正添加的边数也是相同的。因为每添加一条边集合的数目便减少1.

那么权值第二小的边呢？我们将之间得到的集合每个集合都缩为一个点，那么权值第二小的边就变成了当前权值最小的边，也有上述的结论。

因此每个阶段，添加的边数都是相同的。我们以权值划分阶段，那么也就意味着某种权值的边的数目是完全相同的。

 

知道这个定理，就可以先用kruskal计算出一棵最小生成树，然后记录最小生成树上每个权值对应的不同边有几条。

然后根据证明过程的每个阶段，穷举所有的方案，看是否能在制定次数内全部加入森林，记录每个阶段解决方案数，最后用乘法计数原理，乘起来就是答案。

这份代码就看着黄学长的代码风格写的

/**************************************************************
    Problem: 1016
    User: 96655
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:8 ms
    Memory:1516 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
int n,m,cnt,tot,ans,sum;
const int maxn=10005;
const int mod=31011;
int fa[maxn/10];
struct Edge
{
    int u,v,w;
    bool operator<(const Edge &h)const
    {
        return w<h.w;
    }
} e[maxn];
struct data
{
    int l,r,c;
} a[maxn];
inline int read()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
int find(int x)
{
    if(x==fa[x])return x;
    return find(fa[x]);
}
void dfs(int pos,int now,int k)
{
    if(now==a[pos].r+1)
    {
        if(k==a[pos].c)++sum;
        return;
    }
    int fx=find(e[now].u);
    int fy=find(e[now].v);
    if(fx!=fy)
    {
        fa[fx]=fy;
        dfs(pos,now+1,k+1);
        fa[fx]=fx;
        fa[fy]=fy;
    }
    dfs(pos,now+1,k);
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1; i<=n; i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();
    sort(e+1,e+1+m);
    tot=cnt=0;
    ans=1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        if(e[i].w!=e[i-1].w)
        {
            a[++cnt].l=i;
            a[cnt-1].r=i-1;
        }
        int fx=find(e[i].u);
        int fy=find(e[i].v);
        if(fx!=fy)
        {
            fa[fx]=fy;
            a[cnt].c++;
            tot++;
        }
    }
    a[cnt].r=m;
    if(tot!=n-1)
    {
        printf("0
");
        return 0;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1; i<=cnt; i++)
    {
        sum=0;
        dfs(i,a[i].l,0);
        ans=(ans*sum)%mod;
        for(int j=a[i].l; j<=a[i].r; j++)
        {
            int fx=find(e[j].u);
            int fy=find(e[j].v);
            if(fx!=fy)fa[fx]=fy;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}