莫比乌斯函数&&莫比乌斯反演学习笔记

蒟蒻刚开始学莫比乌斯[懵比钨丝]反演x

开始反演之前先解释一下莫比乌斯函数的定义？

莫比乌斯函数$μ$ 定义如下

$μ(n)$=1{$n=1$}

$μ(n)$=${-1}^{k}${$n$=$p_1p_2p_3p_4....p_k$}

$μ(n)$=$0${$otherwise$}

文字定义就是 如果一个数字是一个没有平方因子的数字 那么它的莫比乌斯函数就是$(-1)^k$ $k$定义为因子个数

如果$n$是$1$ 函数值为$1$ 

其他情况 函数值为$0$

莫比乌斯函数的性质:

1、莫比乌斯函数是一个积性函数

$prove$

这个应该挺显然的...? 

然后我们知道线性筛可以计算积性函数 于是我们就可以线性筛莫比乌斯函数

附上代码:

mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     {
         if (!IsPrime[i]){
         Index++;
         Prime[Index]=i;
         mu[i]=-1;
        }
    for (int j=1;j<=Index&&i*Prime[j]<=n;j++)
      {
         IsPrime[i*Prime[j]]=true;
          if (i%Prime[j]==0)
             break;
        else 
        mu[i*Prime[j]]=-mu[i];
      }
     }

2、$sum_{d|n}μ(d) =[n==1]$

$prove$

只考虑$μ(d)==1$的情况

设$n=p_1p_2p_3p_4...p_k$

$d$的质因子个数是$j$的方案数$C_{k}^{j}$

也就是说 $sum_{d|n}μ(d)$=$C_{k}^{0}-C_{k}^{1}+C_{k}^{2}...+(-1)^{m}C_{k}^{k}$

根据二项式定理 这东西等于$0$

开始反演？

莫比乌斯反演的公式是:

形式一:

$F(n)$=$sum_{d|n}f(d)$

则有$f(d)$=$sum_{d|n}μ(frac{n}{d})F(d)$=$sum_{d|n}F(frac{n}{d})μ(d)$

形式二:
$F(n)$=$sum_{n|d}f(d)$

则有$f(n)$=$sum_{n|d}μ(frac{d}{n})F(d)$

在很多时候我们能比较容易地求出$F(n)$ 但求不出$f(n)$的时候 就可以用这个东西了w

$prove$

我不会啊 咕咕咕

举个例子?

给定整数n和k 求在[1..n]之间有多少对$(i,j)$ 满足$gcd(i,j)==k$

做法一:

可以发现 题目是在求解形如$sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}[gcd(i,j)==k]$

然后我们可以除一下

变成$sum_{1<=i<=frac{n}{k}}sum_{1<=j<=frac{n}{k}}[gcd(i,j)==1]$

根据莫比乌斯函数的性质2

变成$sum_{1<=i<=frac{n}{k}}sum_{1<=i<=frac{n}{k}}sum_{d|gcd(i,j)}μ(d)$

考虑把枚举因数变成枚举倍数 我们枚举d

则有:$sum_{d=1}^{n}μ(d)sum_{i=1}^{n}[d|i]sum_{j=1}^{n}[d|j]$

也就是说 后面两个式子统计的其实是$n$中有多少个数字是$d$的倍数

显然 答案是$frac{n}{d}$

所以 答案就变成了$sum_{d=1}^{n}μ(d)frac{n}{d}frac{n}{d}$

然后数论分块瞎搞一下就行了233

做法二:

既然要大力反演就要构造出合适的$F$和$f$

考虑怎么构造

答案式$f(x)$=$sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}[gcd(i,j)==k]$

定义$F(d)$=$sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}sum_{d}[d|gcd(i,j)]$

$F(d)$=$sum_{1<=i<=n}sum_{d|i}f(i)$

然后我们有了这个式子之后 就可以大力根据形式二反演了

$f(n)$=$sum_{n|d}F(d)μ(frac{d}{n})$

只要枚举到n就行了

$F(d)$=$sum_{1<=i<=n}sum_{1<=j<=n}sum_{d}[d|gcd(i,j)]$

其实就是在$n$的范围内 有多少对$gcd(i,j)$是$d$的倍数

就直接算因数

是$frac{n}{d}$

然后发现我们要求解$f(1)$

$f(1)$=$sum_{1|d}F(d)μ(frac{d}{1})$

即$f(1)$=$sum_{d}F(d)μ(d)$

代入 $f(1)$=$sum_{d}frac{n}{d}frac{n}{d}μ(d)$

然后得到了一样的答案233