从本质出发理解掌握三大坐标系下的三大方程（一）——梯度公式

对于很多数学和工程问题，我们常常需要使用到梯度、散度和旋度公式，而有的时候，虽然在使用这些公式，却对他们其中的物理意义不甚清楚，这样的后果是只能对公式死记硬背，但结果还是常常忘记。这篇文章便从这三大公式的本质入手，推导它们在三大经典坐标系下的形式，授以“捕鱼”之道！

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       开始之前，我们先来回忆一下梯度公式的数学意义，它描述了函数在某点函数值增加最快的方向，它的模就等于函数在该点方向导数的最大值。用直观的解释就是，假设你现在位于一座山上，则这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向，梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

那么为什么梯度的方向就是函数增加最大的方向呢？证明过程十分简单：
       如果(f(x,y,z))在点(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}))可微，则函数在该点任意方向的(e_{l})的方向导数为(frac{partial f}{partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})cosalpha + f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})coseta + f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})cosgamma)，其中(cosalpha、coseta、cosgamma)为(l)的方向余弦。
       我们把上式看成两个向量点积的形式，则变为

[frac{partial f}{partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )cdot(cosalpha,coseta,cosgamma)) ]

又因为(|(cosalpha,coseta,cosgamma)|=1)，所以，上面那个方向导数的最大值就是(|(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )|)。要取得该最大值，就是将(l)的方向取成向量((f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) ))的方向，而((f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) ))恰恰是该点处梯度的方向，至此，我们便证明了梯度的方向就是函数值增加最大的方向。

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笛卡尔坐标系下的梯度公式

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       在上面的推导过程中，我们已经得到了在笛卡尔坐标系下的梯度公式：

[igtriangledown f(x,y,z)=frac{partial f}{partial x}vec{i}+frac{partial f}{partial y}vec{j}+frac{partial f}{partial z}vec{k} ]

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柱面坐标系下的梯度公式

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       柱面坐标系也是正交坐标系，可以看成是笛卡尔坐标系在空间重旋转了一个角度得到的，根据笛卡尔坐标系下梯度公式的推导，我们可以很自然地想到柱面坐标系下的梯度就是(f(x,y,z))在(vec{e_{r}}、vec{e_{ heta}}、vec{e_{z}})方向的偏导数组成的向量，也就是((f_{vec{e_{r}}},f_{vec{e_{ heta}}},f_{vec{e_{z}}}))，接下来，我们只需推导这三个偏导数即可。

[f_{vec{e_{r}}} = lim_{igtriangleup r->0}frac{f+igtriangleup f - f}{r+igtriangleup r - r}=frac{partial f}{partial r} ]

[f_{vec{e_{ heta}}} = lim_{igtriangleup heta->0}frac{f+igtriangleup f - f}{r( heta+igtriangleup heta) -r heta}=frac{partial f}{rpartial heta} ]

[f_{vec{e_{z}}} = lim_{igtriangleup z->0}frac{f+igtriangleup f - f}{z+igtriangleup z - z}=frac{partial f}{partial z} ]

于是，我们便得到了柱面坐标下的梯度公式：

[igtriangledown f(r, heta,z)=frac{partial f}{partial r}vec{e_r}+frac{partial f}{rpartial heta}vec{r_ heta}+frac{partial f}{partial z}vec{e_z} ]

说明：梯度终究是一个由位移的偏导数组成的量，但是对( heta)的偏导数并不是一个对位移的偏导数，所以其最后转化成了弧长！

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球面坐标系下的梯度公式

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       如果你能搞懂柱面坐标下的梯度公式是怎么来的话，球面坐标系下的梯度公式也不在话下了。

[f_{vec{e_{r}}} = lim_{igtriangleup r->0}frac{f+igtriangleup f - f}{r+igtriangleup r - r}=frac{partial f}{partial r} ]

[f_{vec{e_{ heta}}} = lim_{igtriangleup heta->0}frac{f+igtriangleup f - f}{r( heta+igtriangleup heta) -r heta}=frac{partial f}{rpartial heta} ]

[f_{vec{e_{phi}}} = lim_{igtriangleup phi->0}frac{f+igtriangleup f - f}{rsin heta(phi+igtriangleup phi) - rsin hetaphi}=frac{partial f}{rsin hetapartial phi} ]

这样，我们也就得到了球面坐标系下的梯度公式：

[igtriangledown f(r, heta,phi)=frac{partial f}{partial r}vec{e_r}+frac{partial f}{rpartial heta}vec{r_ heta}+frac{partial f}{rsin hetapartial phi}vec{e_phi} ]

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