[OI学习笔记]最小生成树之Prim算法

背景

　　今天遇到这样一道题：（洛谷2820）

        某个局域网内有n(n<=100)台计算机，由于搭建局域网时工作人员的疏忽，现在局域网内的连接形成了回路，我们知道如果局域网形成回路那么数据将不停的在回路内传输，造成网络卡的现象。因为连接计算机的网线本身不同，所以有一些连线不是很畅通，我们用f(i,j)表示i,j之间连接的畅通程度，f(i,j)值越小表示i,j之间连接越通畅，f(i,j)为0表示i,j之间无网线连接。

    输出Σf(i,j)的的最大值

    是最小生成树没错了，于是去温习了一遍图论。。。

    最小生成树定义(摘自百度百科)：

         在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

        

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。 [1] 

      其实就是给你一个有n个点的无向联通图，每条边有一个选择的费用， 你需要只选择其中的n-1条边（因为n个点的联通图要保证无环最多只能有n-1条边），使得这个图仍然联通，保证不构成环，且费用和最小。

    以下面这张图为例：

        

 

    它的最小生成树当然是：

       

    实现最小生成树有两种算法，分别是Prim算法和Kruskal算法（因为还有蛋疼的开学考要准备，就先介绍一下Prim，过几天更Kruskal）

   

Prim算法 

    贪心策略：

        1）把已经在树中的点全部装进集合A，其余装进集合B，这样就保证不构成环

        2）每次选取连接A集合与B集合的边中的最短的一条进行连接，这样保证了边权和最小

    实现方法：

        1）随便找一个起始点(反正最后都在树上)，并装进A集合

        2）循环n-1次，其中每次：

            1）选取连接A集合与B集合的边中的最短的一条进行连接

              2）将新加入的点加入A集合

        3）n-1次之后完成

    代码：（摘自模版题洛谷3366的题解）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
#define maxn 5005
int cost[maxn][maxn],minn,n,m,v2[maxn],tot=1,now,ans;
bool v1[maxn];
inline void getcost()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            cost[i][j]=inf;
        }
    }
    //先将数组赋为极大值
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(cost[u][v]>w)
        {
            cost[u][v]=cost[v][u]=w;
        }
    }
    //初始化cost数组
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        v2[i]=cost[1][i];
    }
    v1[1]=1;
    //找出与1节点相连的边并进行标记
}
inline int prim()
{
    while(tot<n)
    //最小生成树的概念，边数比点数小一
    {
        minn=inf; 
        //附上初值
        tot++;
        //已经使用边数++
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!v1[i]&&v2[i]<minn)
            {
                minn=v2[i];
                now=i;
            }
        }
        //找出与该点相连的最小边
        ans+=minn;
        //更新答案
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(v2[i]>cost[now][i]&&!v1[i])
            {
                v2[i]=cost[now][i];
            }
        }
        v1[now]=1;
        //在找出与now节点相连的边并进行标记
    }
    return ans;
}
int main()
{
    getcost();
    printf("%d",prim());
    return 0;
}

    再次以图一为例，

    输入：

4 5
1 2 40
1 3 20
1 4 30
2 3 30
4 3 10

     输出：

60

    完全正确。