【学习笔记】树形dp

树形dp 学习笔记---（1.19~1.20日志）

made by llj(Jellily)_______________________
MrJ是伦妹啦不是我,其实我起这个名字纯粹是为了致敬……
标签：树形dp

推荐blog
树相关算法（一）——二叉树的遍历、树的重心、树的直径

基本的dp方程

选择节点类

dp[i][0]=dp[j][1]
dp[i][1]=max/min(dp[j][0],dp[j][1])

树形背包类

dp[v][k]=dp[u][k]+val
dp[u][k]=max(dp[u][k],dp[v][k−1])

---

例题1

选课
选择一门课，必须要先学会它的必修课，所以这就形成了一种依赖行为，那么他又说要选择的价值最大，这就要用到树形背包的知识了。

//设dp[i][j]表示选择以i为根的子树中j个节点,u代表当前根节点，tot代表其选择的节点的总额。
void dfs(int u,int tot)
{
    for(int i=head[x];~i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v;
        for(int k=0;k<tot;k++)//这里k从0开始到tot-1，因为v的子树可以选择的节点是u的子树的节点数减一
            dp[v][k]=dp[u][k]+val[u];
        dfs(v,tot-1)
        for(int k=1;k<=tot;k++)
            dp[u][k]=max(dp[u][k],dp[v][k-1]);//这里是把子树的值赋给了根节点，因为u选择k个点v只能选择k-1个点。
    }
}

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=305;

int n,m,cnt;
int score[maxn],fa[maxn],f[maxn][maxn],head[maxn];

struct Edge {
    int to,next;
}e[maxn<<1];

void add(int from, int to)
{
    e[++cnt].to=to;
    e[cnt].next=head[from];
    head[from]=cnt;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][1]=score[u];
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
	{
    	int v=e[i].to;
    	dfs(v);
    	for(int j=m;j>=1;j--)//倒序枚举体积 
    		for(int k=j-1;k>=1;k--)//枚举物品(可正可倒着枚举) 
    			f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]);
    	//f[u][j]:第u棵子树前i个节点，选了j个的最优值
	}
}

int main() 
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for (int i=1;i<=n;i++)
	{
        scanf("%d%d",&fa[i],&score[i]);
        add(fa[i],i);//由父节点指向子节点的单向边
    }
    m++; //由于0号节点的参与，m需要自加1
    dfs(0);
    printf("%d",f[0][m]);
    return 0;
}

---

例题2
没有上司的舞会

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=6005;
int n,rt,cnt;
int rd[maxn],R[maxn],head[maxn],f[maxn][7];//rd用来找根,R是快乐值 

struct Edge{
    int nxt,to;
}e[maxn];

int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

void add(int a,int b)
{
    e[++cnt].nxt=head[a];
    e[cnt].to=b;
    head[a]=cnt;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][1]=R[u];
	for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt)
	{
        int v=e[i].to;
        dfs(v);
        f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0]);
        f[u][1]+=f[v][0];
    }
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
		R[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        int x=read(),y=read();
		rd[x]++;
        if(x!=0&&y!=0)add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
		if(rd[i]==0)rt=i;//i无上司，则i为根 
    dfs(rt);
    printf("%d",max(f[rt][0],f[rt][1]));
    return 0;
}

例题3
最大子树和
这道题的dp方程有变，因为你的操作是切掉这个点，所以你的子树要么加上价值，要么价值为0，所以dp方程是

dp[u]+=max(dp[v],0)

---

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100000;
int n,a[maxn],head[maxn],h,f[maxn],ans; 

struct edge{
    int next,to;
}e[maxn];  

void add(int x,int y) 
{
    e[++h].next=head[x];
    e[h].to=y;
    head[x]=h;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    f[u]=a[u]; 
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next) 
    {
        int v=e[i].to;  
        if (v!=fa)  
        {
            dfs(v,u);  
            f[u]+=max(0,f[v]);  
        }
    }
    ans=max(ans,f[u]); 
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);  
    }
    dfs(1,0);  
    printf("%d",ans);
}

例题3

士兵守卫
题意:选择最少的点来覆盖一棵树，可以用最小点覆盖（也就是二分图最大匹配）或者树形dp来做，但现在在学树形dp那就不考虑二分图
复习vector~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1500+5;
 
int f[maxn][9],n;
vector<int>g[maxn];
 
void add(int x,int y)
{
    g[x].push_back(y);
}

void dp(int u,int fa) 
{
    f[u][0]=0;f[u][10]=1;
    for (int i=0;i<g[u].size();i++)//vector是从0开始的！
    {
        int v=g[u][i];
        if (v==fa)continue;
        dp(v,u);
        f[u][0]+=f[v][11];
        f[u][12]+=min(f[v][0],f[v][13]);//选择节点类转移方程
    }
}
  
void work()
{
    int x,y,t;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for (int i=0;i<n;i++)g[i].clear();
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d:(%d)",&x,&t);//令人心动的读入方式
            for(int i=0;i<t;i++)
            {
                scanf("%d",&y);
                add(x,y);
                add(y,x);
            }
        }
        dp(0,-1);
        printf("%d
",min(f[0][0],f[0][14]));
    }
 
}
  
int main()
{
    work();
    return 0;
}