这个系列有个显著的特点，那就是标题越来越长。忽然发现今天是读书节，读书节多读书。
==下面是没有意义的一段话================================================
我是一个喜欢从学习知识中获得乐趣并乐于分享这种乐趣的人。我认为大部分知识只要花点时间都是能学会的。几年前，我迷上微分几何。我对每个朋友说这东西很有意思花点时间精力就能学会。他们回答说唉没时间时间不知去哪儿了。后来，我迷上量子力学。我对每个朋友说这东西值得一学，只要花点时间精力。他们回答说唉烦心事太多没精力去学。再后来，我迷上程序语言。我对每个朋友说只要使劲挤点时间就能掌握这个。他们回答说唉浑浑噩噩不知道一直在忙什么没时间唉。现在，他们都结婚了，我依然单身。
==然后，正文开始======================================================
不动点
唉，又是一个数学概念， 又是没有实际意义的一节。 但是作为递归相关的常识，还是得提一下。 话说回来，把这玩意儿当作常识，我大概是价值观扭曲，重要性排行颠倒吧。 据说很多研究程序语言，研究偏微分方程的人都这样。
然后，一个——呃——东西$x$被称为函数$f$的不动点，如果它满足下面条件： [ (f ; x) = x ]
不动点和递归有什么关系呢？ $({Y} ; f)$不仅是关于辅助函数$f$的递归函数，同时也是$f$的不动点。 证明如下： egin{eqnarray*} ({Y} ; f) &=& (lambda x.(lambda v.(v ; v) ; lambda f.(x ; (f ; f))) ; f) \ &=& (lambda x.(lambda v.(v ; v) ; lambda p.(x ; (p ; p))) ; f) \ &=& (lambda v.(v ; v) ; lambda p.(f ; (p ; p))) \ &=& (lambda p.(f ; (p ; p)) ; lambda p.(f ; (p ; p))) \ &=& (f ; (lambda p.(f ; (p ; p)) ; lambda p.(f ; (p ; p)))) \ &=& (f ; (lambda v.(v ; v) ; lambda p.(f ; (p ; p)))) \ &=& (f ; (lambda x.(lambda v.(v ; v) ; lambda p.(x ; (p ; p))) ; f)) \ &=& (f ; ({Y} ; f)) end{eqnarray*} 由于递归函数肯定能写成$({Y} ; f)$的形式（参见之前mkdouble的构造方法），递归函数必定是某个函数$f$的不动点。
加入fix表达式
用Y组合子构造递归函数总归太麻烦。 所以需要能直接构造递归函数的表达式。 先来看这个表达式需要哪些元素。 首先，递归函数要调用自己，需要一个指向自己的变量，记为$X_1$。 其次，递归函数有个参数，记为$X_2$。 最后，递归函数的函数体，记为$M$。 构造递归函数其实是寻找不动点的过程，所以这个表达式叫fix表达式（不动点叫fixed point）。 fix表达式长这个样： [ ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M) ] 加入fix表达式最简单的方法是定义为宏： [ ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M) = ({Y} ; lambda X_1.lambda X_2.M) ] 但是这样做又重新引入了Y组合子。 这次采用另一种方法，不定义宏，而是把fix表达式加入语法： egin{eqnarray*} M, N, L &=& ... \ &|& ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M) end{eqnarray*}
现在考察fix表达式的求值过程。 fix表达式的求值结果是个函数，参数是$X_2$： [ eval(({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)) = lambda X_2.? ] 最适合放在问号处的函数体的是$M$，但是$M$包含了自由变量$X_1$，使用$M$之前得先想方法除掉$X_1$。 $X_1$代表递归函数本身，也就是$({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)$。 为了去掉$M$中的自由变量$X_1$，将$X_1$替换为递归函数$({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)$。 综上，fix表达式的求值过程为： [ eval(({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)) = lambda X_2.M[X_1 leftarrow ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)] ] 代码：
加入了新语法，要添加相应的替换过程（这个替换过程和$lambda X.M$的替换过程类似，但是麻烦了点）： egin{eqnarray*} ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)[X_1 leftarrow N] &=& ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M) \ ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)[X_2 leftarrow N] &=& ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M) \ ({fix} ; X_1 ; X_2 ; M)[X_3 leftarrow N] &=& ({fix} ; X_4 ; X_5 ; M[X_2 leftarrow X_5][X_1 leftarrow X_4][X_3 leftarrow N]) \ &其中&X_3 eq X_1, X_3 eq X_2, \ &&X_4 otin FV(N), X_4 otin FV(M)ackslash{X_1}, \ &&X_5 otin FV(N), X_5 otin FV(M)ackslash{X_2} end{eqnarray*} 代码：
测试一下：
'((fix f n (if (iszero n) 0 (+ 2 (f (- n 1))))) 4) >> 8
加入letrec表达式
let表达式不能定义递归函数，所以有个letrec表达式专门用来定义递归函数。 letrec表达式长这个样： [ ({letrec} ; X_1 ; X_2 ; N ; M) ] $X_1$，$X_2$和$N$定义了一个递归函数，$M$是用到这个递归函数的一个表达式。
类似let表达式，将letrec表达式定义为宏： [ ({letrec} ; X_1 ; X_2 ; N ; M) = (lambda X_1.M ; ({fix} ; X_1 ; X_2 ; N)) ] 代码：
