左乘 右乘

  齐次变换可以是相对于共同的参考坐标系的变换，也可以相对于变换过程中不同的当前坐标系来实现变换。不同的变换矩阵相乘的顺序（左乘与右乘），可以得到不 同（相反）的结果。由于OpenGL使用的是左乘（向量左乘变换矩阵），这里用左乘来举例。

    对于变换矩阵R = Rz * Ry * Rx

1） 相对于参考坐标系O（固定）的变换

    V’ = R * V = Rz * Ry * Rx V，对于左乘变换矩阵（从右向左进行），其变换为V向量对于参考坐标系（固定）先绕x轴旋转，再绕y轴旋转，最后绕z轴旋转，得到的新向量V’，在整个变 换过程中均是相对于同一坐标系O的x，y，z轴进行的，得到的V’也是同一参考坐标系O中的矢量。

2） 相对于当前坐标系的变换

    则每个平移、旋转变换始终相对于当前坐标系（坐标系随着平移、旋转）。变换顺序为从左往右（即右乘矩阵）。对于V’ = R * V = Rz * Ry * Rx V，相当于最初的参考坐标系O，绕z轴旋转（变成O1），再绕y轴旋转（变成O2），最后绕x轴旋转（变成O3）。得到的V’是O3坐标轴中的V在原始坐 标轴O下的矢量。
所以对于同一的变化矩阵R，可以理解为两种不同的变换方法。
OpenGL对模型进行旋转、平移和缩放。用到三个子函数： glTranslate*(x, y, z) 、 glRotate*(x, y, z) 、 glScale*(x, y, z) 。每个函数都会产生一个矩阵，并右乘当前矩阵。

对与变换：

    glRotatef(45.0, 0.0, 0.0, 1.0);
glTranslatef(3.0, 0.0, 0.0);

这 两个变换，可以看成：

    glMultMatrixf(R);
glMultMatrixf(T);

R,T 都是右乘到CTM（当前变换矩阵）：CTM = CTM * R * T

对模型变换的理解有两种：

1） 在固定坐标系下，对物体进行变换。这时候，要以相反的顺序来考虑代码中的变换函数了，它的实际过程是这样 P = CTM *( R*(T* P’))。首先对物体进行平移，平移到坐标（3.0, 0.0, 0.0）。然后，把物体相对原点绕z轴旋转45度。

2） 物体捆绑在局部坐标系下，所有的变换都是在当前坐标系进行的。这时，变换可以看成：

    glRotatef(45.0, 0.0, 0.0, 1.0) 产生一个齐次矩阵 R（代表一个局部坐标系），即局部坐标系R 相对刚才开始的坐标系I（单位矩阵）作了旋转变换，绕z轴旋转了45度。
glTranslatef(3.0, 0.0, 0.0) 产生一个齐次矩阵 T （也是代表了一个局部坐标系），相对 R 坐标系沿ｘ轴（R系）平移了３个单位，得到了自己的局部坐标系T，最后在T下进行绘制。

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