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  • 【转】球坐标旋转

     

    坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。   设P(x,y,z)为空间内一点,则点P也可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点P间的距离,θ为有向 线段与z轴正向所夹的角,φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角,这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r,φ,θ叫做点P的球面 坐标,这里r,φ,θ的变化范围为   r∈[0,+∞),   φ∈[0, 2π],   θ∈[0, π] .   当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:   r = 常数,即以原点为心的球面;   θ= 常数,即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面;   φ= 常数,即过z轴的半平面。   与直角坐标系的转换:   1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:    x=rsinθcosφ   y=rsinθsinφ   z=rcosθ   2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:   r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2);   φ= arctan(y/x);   θ= arccos(z/r);   球坐标系下的微分关系:   在球坐标系中,沿基矢方向的三个线段元为:   dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ   球坐标的面元面积是:   dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ   体积元的体积为:   dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ   球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用.在测量实践中,球坐标中的θ角称为被测点P(r,θ,φ)的方位角,90°-θ成为高低角。

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    生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitchyaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转,它们的生成元很容易表达。   绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。
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    三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外,还需指定旋转轴。

         若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴,则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。  规定在右手坐标系中,物体旋转的正方向是右手螺旋方向,即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。

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