时隔两三个月重新打$ntt$的时候，已经忘记了常见模数的原根。
想要回忆原根的求法，以备不时之需，然而也忘记了。
所以颓了大神$yxs$的证明博客，为了防止再次遗忘，来复读一遍大神的做法和证明。
做法：
因为原根往往很小，所以可以采用暴力枚举的方法。
然而直接暴力$check$的复杂度并不是合法的。
一个可行的$check$方法：
对$varphi(p)$质因数分解，得到$y_i=frac{varphi(p)}{p_i}$
设当前$check$的数为$x$
对每个$y_i$，快速幂求出$x^{y_i}$，若均不为$1$，那么$x$为$p$的一个原根。
证明：
若$x^i equiv 1$ $(mod p)$，有$x^{i*k} equiv 1$ $(mod p)$。
若存在$x^k equiv 1$ $(mod p)$ $(0<k<varphi(p))$，$x$一定不为原根，所以该做法具有必要性。
下面通过反证证明充分性。
设存在$x^k equiv 1$ $(mod p)$ 其中$k$不被任意$y_i$整除。
一定存在一组$u,v$满足$u*k+v*varphi(p)=gcd(k,varphi(p))$。
有$u*k=gcd(k,varphi(p))-v*varphi(p)$。
因为$x^{u*k} equiv 1$ $(mod p)$，
有$x^{gcd(k,varphi(p))-v*varphi(p)} equiv 1$ $(mod p)$。
因为$x^{v*varphi(p)} equiv 1$ $(mod p)$，
有$x^{gcd(k,varphi(p))} equiv 1$ $(mod p)$，
显然存在$y_i$为$gcd(k,varphi(p))$的倍数，所以不存在这样的$k$。