拉格朗日反演

拉格朗日反演及扩展拉格朗日反演

如果有 (F(G(x))=x)，即 (F,G) 互为复合逆，同时一定有 (G(F(x))=x)，可以称 (G(x)=F^{-1}(x),F(x)=G^{-1}(x))。

在这种情况下，有这样的式子：

拉格朗日反演

[[x^n]F(x)=frac{1}{n}[x^{-1}](frac{1}{G(x)})^n=frac{1}{n}[x^{n-1}](frac{x}{G(x)})^n ]

扩展拉格朗日反演

[[x^n]H(F(x))=frac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)(frac{1}{G(x)})^n=frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(frac{x}{G(x)})^n ]

 
 

大朋友和多叉树

设 (F(x)) 为答案的普通生成函数，那么有

[F(x)=x+sum limits_{i=0}^{infty}[i in D] F^i(x) ]

[x=F(x)-sum limits_{i=0}^{infty}[i in D] F^i(x) ]

这样的话就构造出了 (G(x)=F^{-1}(x)=x-sum limits_{i=0}^{infty}[i in D]x^i)。

对 (G) 进行拉格朗日反演即可求出 (F)。

注意要求的是 ((frac{x}{G(x)})^n)，然而 (G(x)) 常数项一定为 (0)。

解决方法很简单，把式子化成 ((cfrac{1}{frac{G(x)}{x}})^n) 即可。
 

边双图计数

首先一般图的指数生成函数为 (H(x)=sum limits_{i=0}^infty 2^{inom{i}{2}}frac{x^i}{i!})。

可以求出一般连通图的指数生成函数 (P(x))，(e^{P(x)}=H(x),P(x)=ln H(x))。

给 (P(x)) 的第 (i) 项系数乘上 (i)，即可得到有根一般连通图的指数生成函数 (D(x))。

设有根边双图的生成函数为 (B(x))，考虑枚举一般图中根所在的边双大小，接着把有根连通图挂在边双上的点上，那么有：

[D(x)=sum limits_{i=1}^infty b_ie^{iD(x)}frac{x^i}{i!} ]

[D(x)=sum limits_{i=1}^infty b_ifrac{(xe^{D(x)})^i}{i!}=B(xe^{D(x)}) ]

令 (C(x)=xe^{D(x)})，可得 (D(x)=B(C(x)))。

对 (C(x)) 取复合逆，可得 (B(x)=D(C^{-1}(x)))。

然后直接扩展拉格朗日反演冲上去：

[[x^n]B(x)=[x^n]D(C^{-1}(x))=frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(frac{x}{C(x)})^n=frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)e^{-nD(x)} ]

点双图计数

同上题可以求出 (D(x))。

设无根点双图的生成函数为 (B(x))，考虑一般图中根所在若干个无关的点双，可以直接 (exp) 起来，所以只需要考虑每个点双的生成函数。

对于每个点双，只要枚举大小然后在点双的每个点上挂一个有根连通图即可。

所以每个点双大概是这样的 (sum limits_{i=1}^{infty}b_{i+1}frac{D^i(x)}{i!})。

可以给 (B) 左移一位，使书写方便一些，有 (D(x)=xe^{B(D(x))})。

这里用的点双生成函数是无根的，大概是因为这样就可以直接钦定编号最小的点是根节点，不去给根节点分配编号同时还保证用到的方案数是正确的。

对式子同取 (ln)，可得 (ln frac{D(x)}{x}=B(D(x)))。

用 (D^{-1}(x)) 替换掉 (x)，可得 (ln frac{x}{D^{-1}(x)}=B(x))。

构造 (H(x)) 为 (ln frac{D(x)}{x}) 即可发现要求的就是 (B(x)=H(D^{-1}(x)))。

仍然是套一个扩展拉格朗日反演即可解决。