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数的分解，据说是清华的一道复试上机题
来源: http://topic.csdn.net/u/20100325/20/38e39935-9463-452c-a194-1ed8f6b49c99.html
任何数都能分解成2的幂，
例如：7
=1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+2+2
=1+1+1+4
=1+2+2+2
=1+2+4
求任意整数n(n<100亿)的此类划分数。
解:
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。
证明:
证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上记号的具体例子见文末。
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
这就证明了我们的递推公式。
记 f(0) = 1，根据递推公式，可以得到:
f(2m) = f(0) + f(1) + ... + f(m)。
(证明留给读者)
一些例子：
A(3) = {
(1,1,1)
(1,2)
},
f(3) = 2,
A(4) = {
(1,1,1,1)
(1,1,2)
(2,2)
(4)
},
f(4) = 4,
A(5) = {
(1,1,1,1,1)
(1,1,1,2)
(1,2,2)
(1,4)
},
f(5) = 4,
A(6) = {
(1,1,1,1,1,1)
(1,1,1,1,2)
(1,1,2,2)
(1,1,4)
(2,2,2)
(2,4)
},
f(6) = 6,
B(6) = {
(1,1,1,1,1,1)
(1,1,1,1,2)
(1,1,2,2)
(1,1,4)
},
g(6) = 4,
C(6) = {
(2,2,2)
(2,4)
},
h(6) = 2.
结合今天的这道题：
题目描述
小明开始学习二进制转化到十进制，其中要用到2的幂（2的3次幂就是3个2相乘），他觉得这个很有意思。既然通过2的幂相加可以得到十位数，那么反过来，一个十进制数是否可以通过若干个2的幂相加得到呢？
小明开始研究起来，他先列出了所有2的幂：1,2,4,8,16,32,64……。
4=1+1+1+1
4=1+1+2
4=2+2
4=4 4共有4种方法
7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+2
7= 1+1+1+2+2
7=1+1+1+4
7=1+2+2+2
7= 1+2+4
共有6种方法。1+2+4和2+1+4认为是同一个等式，因为它们的组成相同。
现在小明想要知道，给出一个十进制数，可以写出多少种，用若干个2的幂数相加的式子。
输入
第一行包含1个正整数n， 1<=n<=1000。
输出
共1行，n能用2的幂数相加的不同式子的种数。
样例输入
复制样例数据
7
样例输出
6
#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int n){
if(n==1||n==2) return n;
else if(n%2==0) return fun(n/2)+fun(n-1);
else return fun(n-1);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<fun(n)<<endl;
return 0;
}
我没找出这个规律