高等数学之一元函数微分学

一元函数微分学

导数与微分

1.1 导数的概念及其几何意义

2.3.1 导数的定义

导数第一定义式：(egin{aligned} f'(x_0)=limlimits_{Delta x o0}frac{f(x_0 + Delta x)-f(x_0)}{Delta x} end{aligned})

导数第二定义式：(egin{aligned} frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} end{aligned}) (用来求可导性)

推广式：(egin{aligned} frac{a-b}{c}f'(x_0)=limlimits_{Delta x o0}frac{f(x_0 + aDelta x)-f(x_0+bDelta x)}{cDelta x} end{aligned})

eg: 设(egin{aligned}f'(x_0)=2,则limlimits_{n oinfty}n cdot[f(x_0+frac{3}{n})-f(x_0)] end{aligned}) = _____

解: n * x,就等于(egin{aligned}frac{x}{frac{1}{n}}end{aligned}) ,所以

(egin{aligned}limlimits_{n oinfty}frac{[f(x_0+frac{3}{n})-f(x_0)]}{frac{1}{n}}end{aligned} = 3)

(egin{aligned}3f'(x_0) = 6end{aligned})

中值定理及导数的应用

2.1 罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日

挖坑

2.2 洛必达(L’Hospital)法则

挖坑

2.3 导数的应用

目标：会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题。

2.3.1 函数的单调性

1. 求函数的定义域
2. 求(f'(x)),也就是求出函数的导数
3. 令(f'(x))= 0, 求出驻点和不可导点（不在定义域内的要舍去）
4. 列表判断

eg：

求(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2)的单调性.

解:

1. (f(x))的定义域为((-∞,+∞))

2. (f'(x))为(f(x)=3x^2-12x+9) 得(3(x-1)(x-3))

3. (f'(x)=3(x-1)(x-3)=0) 得驻点为：(x_1=1,x_2=3)

4. 最后列表讨论

   (x)	((-∞,1))	((1,3))	((3,+∞))
   (f'(x))	(+)	(-)	(+)
   (f(x))	(↑)	(↓)	(↑)

   可以看出，单调增区间：((-∞,1))、((3,+∞)) 单调减区间：((1,3))

2.3.2 函数的极值

与2.3.1相同解法

例题如下：

求(f(x)=x^3-6x^2 +9x^2 - 2)的单调性.

(x)	((-∞,1))	1	((1,3))	3	((3,+∞))
(f'(x))	(+)	0	(-)	0	(+)
(f(x))	(↑)	2	(↓)	-2	(↑)

得到最大值 2 最小值-2

2.3.3 函数的最值

1. 求函数的定义域
2. 求端点值和极值
3. 比较以上函数值$egin{cases} 最大=>最大值 最小=>最小值end{cases} $

eg：

求(y=x^4-8x+2 (-1<=x<=3))

当x=-1时 y=-5

当x=3时 y=11

求极值 令(f'(x) = 0)

(f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4))

得驻点：(x_1 = 0,x_2=-2(舍去),x_3=2)

当x=0时y = 2

当x=2时y=-14

得：最大值为y(3) = 11,最小值y(2) = -14

2.3.4 单调性证明不等式

步骤：

1. 把左边的移到右边得到f(x)
2. 求导判断单调性

eg: 当x>0时,(cosx>1-frac{x^2}{2})

令(f(x)) = (cosx- 1 +frac{x^2}{2})

则(f'(x)=-sinx+x=x-sinx),由于x>sinx ,(f'(x)>0),(f(x))单调递增.

又(f(x))的最小值(f(0)=0)

所以x>0时,f(x)>0成立

即x>0时,(cosx>1-frac{x^2}{2})成立

$f(x)>f(0)=f(x)>0 = $$cosx- 1 +frac{x^2}{2}>0$

一些可以直接拿来用的不等式：

(当0<x<frac{π}{2}时,sinx<x<tanx)

(当x>0时,ln(1+x)<x)

2.3.5 方程根的个数

挖了

2.3.6 二阶导

(egin{aligned} frac{d^2y}{dx^2}=frac{d(frac{dy}{dx})}{dx} end{aligned})

2.4 曲线

目标：会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点，会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)。

2.4.1 凹凸性和拐点

概念：

1. 凹凸性：判断：$egin{cases} f''(x)>0,f(x)凹 f''(x)<0,f(x)凸end{cases} $
2. 拐点：曲线凹凸性发生改变的点，是个函数坐标，记作（x,f(x))。一般为(f''(x)=0)的点，(f''(x))不存在的点。

做题方法：

1. 确定函数的定义域
2. 求(f''(x)),且令(f''(x)=0)或(f''(x))不存在的点。
3. 列表分割定义域，讨论子区间(f''(x))的正负性：$egin{cases} f''(x)>0,f(x)凹 f''(x)<0,f(x)凸end{cases} $

eg: 设(f(x)=x^4-6x^3+12x^2-6)的凹凸性和拐点

解：

1. (f(x))的定义域为((-∞,+∞))

2. (f''(x)=12(x-1)(x-2)) 得 (x_1=1,x_2=2)

3. 列表讨论

   (x)	((-∞,1))	1	((1,2))	2	((2,+∞))
   (f''(x))	(+)	0	(-)	0	(+)
   (f(x))	凹	拐点(1,1)	凸		凹

由此可得：凹区间有((-∞,1))、((2,+∞))，凸区间：((1,2))

拐点有：(1,1)，(2,10)

2.4.2 曲线的渐近线

若(lim_{n ightarrowinfty}f(x)=c),则y = c为水平渐近线

若(lim_{n ightarrow a}f(x)=∞),则x = a为垂直渐近线

若(lim_{n ightarrowinfty}frac{f(x)}{x}=a≠0),且则(lim_{n ightarrowinfty}[f(x)-ax]=b),则y = ax+b为斜渐近线