树状数组学习小记

初看树状数组的概念以及定义，还料想不算太复杂，不愧是线段树的的阉割版本，用起来省时省事，复杂度还底。简直称得上要多爽就又多爽呀。

树状数组一般适用于三类问题：

1，修改一个点求一个区间

2，修改一个区间求一个点

3，求逆序列对

要介绍树状数组，先po上他最直观的图，便于理解。

不难看出以下规律：

c1=a1

c2=a1+a2

c3=a3

c4=a1+a2+a3+a4

c5=a5

c6=a5+a6

c7=a7

c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8

c9=a9

c10=a9+a10

c11=a11........

c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

可以归纳出通项：

cn=a(n-2^k+1)+.........+an，Cn由多少项取决于他最多能够整除2的几次方。比如6最多能整除2的1次方，所以C6就有数组a的两项组成。而奇数都最能整除2的0次方，所以当n为奇数时，由Cn ＝ An。

也正是因为这些性质，使得树状数组可以在当原数组的某些项（一般是一个区间）的值变化的时候，可以快速求出区间和。这个在数据量特别大的时候尤为有用，有效解决各种超时。所以说，树状数组只要用于区间值求和或区间修改求值，复杂度为O（lgn），这在n特别大时，比O（n）低了一个数量级。

由Cn的公式我们不难看出，要想求Cn就必须要求出2^k的k值。这个很容易让我们想到二进制，而实际上他可以由 x & （x ^ (x - 1))求出。

这个公式不难理解，不过在大部分程序中，都是用x & （－x）来实现。一开始我十分不解，演算了半天也找不出这两者的关系。后来发现，这是利用计算机补码的性质（囧rz，真该好好补补我的计算机原理方面的知识了）。

在代码中，我们一般这样写：

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);    
}

看着上面的图，从1到n的求和代码也不难想

int Sum(int n)
{
    int sum=0;
    while(n>0)
    {
         sum+=c[n];
         n=n-lowbit(n);
    }    
    return sum;
}

以上就是树状数组就根本的操作，而在实际应用中的变化也都由上面的推出来的。

不过，在真正的应用中，总体而言，还是包含有三种用法。

（1）最为简单的，改点求段。

 树状数组的定义来看，修改一个点ai，对且仅对cn（n >= i）由影响。所以我们只需要逐次修改后面的cn即可。

代码如下：

void update(int i, int c) {
    while(i <= n) {
        num[i] += c;
        i += lowbit(i);
    }
}

而对于段的求和，我们可以直接调用上面的Sum函数，由于Sum时计算从1到i的，而当我们需要计算x到y区间的和的时候，就调用Sum(y) - Sum(x -1).即可

（2）其次，就是改段求点。

（3）改段求段。  挖坑待填:P