参考: http://www.cnblogs.com/liyukuneed/archive/2013/05/22/3090597.html
最长公共子序列是一个很经典的动态规划问题。
动态规划,众所周知,第一步就是找子问题,也就是把一个大的问题分解成子问题。这里我们设两个字符串A和B ,A = "a0, a1, a2, ..., am-1",B = "b0, b1, b2, ..., bn-1"。
(1)如果am-1 == bn-1,则当前最长公共子序列为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列与am-1的和。长度为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列的长度+1。
(2)如果am-1 != bn-1,则最长公共子序列为max("a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-1"的公共子序列,"a0, a1, ..., am-1"与"b0, b1, ..., bn-2"的公共子序列)
如果上述描述用数学公式表示,则引入一个二维数组c[][]
,其中c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS长度
,再用一个二维数组b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,即,搜索方向。
这样我们可以总结出该问题的递归形式表达:
按照动态规划的思想,对问题的求解,其实就是对子问题自底向上的计算过程。这里,计算c[i][j]时,c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]已经计算出来了,这样,我们可以根据X[i]与Y[j]的取值,按照上面的递推,求出c[i][j],同时把路径记录在b[i][j]中(路径只有3中方向:左上、左、上,如下图)
代码
public static int lcsLen(String A, String B){
int M = A.length(), N = B.length();
int[][] lcsLen = new int[M+1][N+1];
int[][] lcsDir = new int[M+1][N+1];
for (int i = 0; i < M; i++)
lcsLen[i][0] = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
lcsLen[0][i] = 0;
for (int i = 1; i <= M; i++)
for (int j = 1; j <= N; j++) {
if (A.charAt(i-1) == B.charAt(j-1)) {
lcsLen[i][j] = 1 + lcsLen[i-1][j-1];
lcsDir[i][j] = 0; //左上
}
else {
int x = lcsLen[i-1][j], y = lcsLen[i][j-1];
if (x >= y) {
lcsLen[i][j] = x;
lcsDir[i][j] = 1; // 上边
}
else {
lcsLen[i][j] = y;
lcsDir[i][j] = 2; // 左边
}
}
}
return lcsLen[M][N];
}