线段树

线段树概述

        线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶节点。

        线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a , b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 + 1 , b]。

        它的优势在于可以基本保证每个操作的复杂度为O(lgn).

        上图是一个非常简单的线段树。

基本操作

        一棵线段树一般要支持三种操作：建树(build)、查询(search)和更新(update)。

建树

        让根节点表示区间[0,N-1]，即所有N个数所组成的一个区间。然后，把区间分成两半，分别由左右子树表示。不难证明，这样的线段树的节点数只有2N-1个，是O(N)级别的。

        线段树的结构如下：

struct node
     {
	/* data */
	int left, right, mid;
	//其它数据
     };

        其它的节点信息根据应用情况而定。

        显然，线段树的构造是一个递归过程：

void makeTree(int start, int end, int c)
     {
	tree[c].left = start;
	tree[c].right = end;
	tree[c].mid = ((start+end)>>1);
	tree[c].max = 0;
	if (start == end)
	{
		//其它操作
		return;
	}
	makeTree(start, tree[c].mid, (c << 1));
	makeTree(tree[c].mid+1, end, (c << 1) | 1);
	//其他操作
     }

查询

        查询操作也是一个递归过程。对一个节点的查询要通过综合其左右子节点的查询结果。

void search(int start, int end, int c)
{
	if (tree[c].left==start && tree[c].right==end)
	{
		//其它操作
		return ;
	}
	if (start > tree[c].mid)
		search(start, end, (c<<1)|1);
	else if (end <= tree[c].mid)
		search(start, end, c<<1);
	else
	{
		search(start, tree[c].mid, c<<1);
		search(tree[c].mid+1, end, (c<<1)|1);
	}
}

更新

        当用户修改一个区间的值时，如果连同其子孙全部修改，则改动的节点数必定会远远超过O(log n)个。因而，如果要想把区间修改操作也控制在O(log n)的时间内，只修改O(log n)个节点的信息就成为必要。

        借鉴前一节区间查询用到的思路：区间修改时如果修改了一个节点所表示的区间，也不用去修改它的儿子节点。然而，对于被修改节点的祖先节点，也必须更新它所记录的值，否则查询操作就肯定会出问题。

        解决方案是Lazy思想：对整个结点进行的操作，先在结点上做标记，而并非真正执行，直到根据查询操作的需要分成两部分。

应用场景

        （1）：连续区间和；

        （2）：区间覆盖问题；

          ……

            杭电1166