SG函数总结

目录

• 基本概念
• 取石子问题
• SG函数打表模板

基本概念

首先定义 (mex) (minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如 (mex{0,1,2,4}=3) 、(mex{2,3,5}=0)、(mex{}=0) 。

对于任意状态 (x) ，定义 (SG(x) = mex(F)) ，其中 (F) 是 (x) 后继状态的 (SG) 函数值的集合（就是上述 (mex) 中的数值）。例如 (x) 有三个后继状态分别为 (SG(a)) 、(SG(b)) 、(SG(c)) ，那么 (SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}) 。当且仅当 (x) 为必败点时，(SG(x)=0) 。

游戏和的 (SG) 函数等于各个游戏 (SG) 函数的 (Nim) 和。

取石子问题

有 (1) 堆 (n) 个石子，每次操作只能取 ({ 1, 3, 4}) 个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的 (SG) 值为多少？

初始：(SG[0] = 0)，(，f[]={1,3,4}) 。

(x=1) 时：可以取走 (1 - f{1}) 个石子，剩余 ({0}) 个，所以 (SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1) ；

(x=2) 时：可以取走 (2 - f{1}) 个石子，剩余 ({1}) 个，所以 (SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0) ；

(x=3) 时：可以取走 (3 - f{1,3}) 个石子，剩余 ({2,0}) 个，所以 (SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1) ；

(x=4) 时：可以取走 (4- f{1,3,4}) 个石子，剩余 ({3,1,0}) 个，所以 (SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2) ；

(x=5) 时：可以取走 (5 - f{1,3,4}) 个石子，剩余 ({4,2,1}) 个，所以 (SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3) ；

以此类推。

SG函数打表模板

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N], SG[maxn], S[maxn];
void  getSG(int n){
    int i, j;
    memset(SG, 0, sizeof(SG));
    //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
        memset(S, 0, sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
        for(j = 0; ; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}